Bunte Tassen und Untertassen kombinieren

Question

Hallo Mathelounge Besucher,

die Aufgabe ist folgenden:

,,Sechs Tassen und sechs Untertassen sollen paarweise kombiniert werden. Es gibt jeweils zwei rote, zwei blaue und zwei gelbe Tassen und Untertassen. Die Tassen werden zufällig auf die Untertassen verteilt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei keiner der Kombinationen die Farbe der Tasse mit der der Untertasse übereinstimmt?"

Da wir im Wahrscheinlichkeitsunterricht noch nicht viele Formel gelernt haben, muss sich das auf ein paar wenige beschränken. Ich dachte da an die bedingte Wahrscheinlichkeit.

Ich habe mir auch schon Gedanken dazu gemacht. Alle Kombinationsmöglichkeiten bekommt man ja mit 6!. Zuerst wollte ich die Wahrscheinlichkeit für farblich passende Tassen und Untertassen berechnen und es dann von 1 abziehen. Aber ich hab keine Ahnung wie.

Liebe Grüße 

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Ich habe noch mal eine Nacht drüber geschlafen und bin zu dem Ergebnis gekommen:

Alle möglichen Kombinationen:

6!(Tassen) * 6!(Untertassen) = 518.400

Kombination der gleichfarbigen:

6! * 2^{3 =} 5.760

Da: Für die 1. Wahl stehen 6 Tassen zur Auswahl, hat man eine getroffen, so stehen einem für die gleichfarbige Untertasse noch max. 2 zur Verfügung. Also 6 * 2. Bei der nächsten Wahl kommen nur noch 5 Tassen zur Auswahl, trifft man wieder die gleiche Farbe, so hat man nur noch 1 Untertasse zu Auswahl: 5 * 1. Hat man aber eine andere Tassenfarbe so ergibt sich 5 * 2. Rechnet man so weiter erhält man am Ende: 6 * 2 * 5 * 1 * 4 * 2 * 3 * 1 * 2 * 2 * 1 * 1. Wo die 2er und 1er stehen ist schlussendlich egal.

Damit wir noch die Wahrscheinlichkeit herausfinden, dass keine der Kombinationen ein passendes Set enthält, wird noch folgendes berechnet:

Pr[kein passendes Set] = 1 - (5.760 / 518.400) = 0.988...

Wäre noch gut zu wissen ob dieser Gedankenweg richtig ist. Spätestens am Donnerstag werde ich es im Unterricht erfahren.

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Ich hatte gestern auch keine richtige Idee.

Bei deiner Rechnung kannst die Tassen eigentlich gleich weglassen (einfach mal fest hinlegen). (6! kürzt sich sowieso weg) . Dann die Untertassen draufstellen: (logischer umgekehrt - aber egal) 

Alle möglichen Ausfälle:

6!(Untertassen)

ungünstige Ausfälle: Alle Sets gleichfarbig :

 2³ = 8    

Da: Für die 1. Wahl stehen 6 Tassen zur Auswahl, hat man eine getroffen, so stehen einem für die gleichfarbige Untertasse noch max. 2 zur Verfügung. Also 6 * 2. Bei der nächsten Wahl kommen nur noch 5 Tassen zur Auswahl, trifft man wieder die gleiche Farbe, so hat man nur noch 1 Untertasse zu Auswahl: 5 * 1. Hat man aber eine andere Tassenfarbe so ergibt sich 5 * 1. Am Ende kommt 6 * 2 * 5 * 1 * 4 * 2 * 3 * 1 * 2 * 2 * 1 * 1 raus. Wo die 2er und 1er stehen ist schlussendlich egal.  Gute Argumentation! Aber vollständig? 

Damit wir noch die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass keine der Kombinationen ein passendes Set enthält, wird noch folgendes berechnet: 

Pr[kein passendes Set] = 1 - (5.760 / 518.400) = 0.988...  

Das ist nun aber P(es stimmen nicht alle Sets) 

Ich vermute, dass z.B. (Tasse/Untertasse)

(b,b), (b,r), (r,b), (r,g),(g,g),(g,r) 

als " enthält 2 passende Kombinationen (b,b) und (g,g)" angesehen wird. Das ziehst du aber nicht ab, wenn du nur 8 perfekten Fälle abziehst. 

Lies du nochmals die Fragestellung ganz genau und entscheide, wohin meine "unperfekten" Fälle gehören. 

Wie man diese unperfekten Fälle zählen soll, weiss ich aber bisher nicht. 

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Ohweia, jetzt verstehe ich was du meinst...Ich habe leider ebenso keine Ahnung wie man diese unperfekten Fälle ,,herausfischt".

Aber ich glaube ich muss mich bis Donnerstag gedulden um eine befriedigende Lösung zu bekommen. Dann kann ich sie hier auch mit allen teilen.

Danke für deinen Denkanstoß.

Grüße

Answer 1

nennen wir die 3 Farben a, b, c.

Es gibt $$ {6! \over 2!\, 2!\, 2!} = 90 $$ Möglichkeiten der Anordnung der 6 Tassen bzw. Untertassen.

Zu einer gegebenen Reihenfolge der Untertassen --- nennen wir sie der Bequemlichkeit halber aabbcc --- gibt es genau 10 Möglichkeiten, Tassen darauf zu stellen, die keine gemeinsame Farbe haben.

bb cc aa
bc ac ab
bc ac ba
bc ca ab
bc ca ba
cb ac ab
cb ac ba
cb ca ab
cb ca ba
cc aa bb

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit $$ {10\over90} = {1\over9} $$

Grüße,

M.B.

Comments

Genau so ist es!

War am Wochenende nicht da, um die Lösung aus der Vorlesung zu posten. Was MatheMB geschrieben hat ist richtig.

Was uns gefehlt hat (keiner in der Vorlesung hat es gewusst, oder hat sich nicht getraut) ist die Multinomialverteilung. Also die Gleichung wie oben:

6! / (2! * 2! * 2!), wobei 6! die Anordung von 6 verschiedenen Tassen darstellt und 2! die (farblich) doppelten Tassen.

Und dann haben wir alle Elementarereignisse aufgezählt, bei denen alle Tassen verschieden sind. Aber so:

{RG, GR} x {BR, RB} x {BG, GB} das führt zu 2³ Möglichkeiten.

Zum Schluss: (2 + 8) / 90 = 1/9

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Anmerkung:

Die 10 Möglichkeiten sind leicht zu finden:

Auf aa kann nur bb, bc, cb oder cc.

Setzt man bb oder cc darauf, gibt es jeweils nur eine eindeutige Lösung.

Setzt man bc oder cb darauf, muss das andere b auf c und das andere c auf b, damit auch jeweils ein a auf b und c.

Bei diesen Überlegungen ist es völlig egal, in  welcher Reihenfolge die Untertassen stehen.

Grüße,

M.B.