Skizzierung einer Menge in der gaußschen Zahlebene

Question

bei der ii) komme ich nicht weiter.

Hat vielleicht jemand die Umformung oder die Lösungen davon??

danke

Answer 1

ii)

mit z =   x  +  iy  ist  1/z  =   1 / (  x  +  iy  )  und nach Erweitern mit ( x - iy ) ist

das  x / ( x² + y² )      - y  / ( x² + y² ) * i

also der Im-Teil     - y  / ( x² + y² )

Und mit         - y  / ( x² + y² )   = 2  kommst du auf

x² + y²  + 1/2y    = 0      bzw.

x² + y²  + 1/2y   +1/16  =     1/16  

x² + ( y  + 1/4)²       =   1/ 16  also Kreis um  ( 0 ; -1/4) mit Radius  1/4 

 ;allerdings ohne den Punkt ( 0 ; 0 ) ; denn da

darf man ja nicht mit   ( x - iy ) erweitern.

Comments

i)   | z| =  √(x^2 + y^2 )    und  Im(z) = y 

√(x^2 + y^2 )    ≥ 1 -  y           #

für  y ≥ 1  ist die rechte Seite 0 oder negativ

und der Betrag ist immer 0 oder positiv;  also gilt es

für alle  z mit  Im(z)   ≥ 1 .

Für  y < 1 ist   1 - y  positiv, also kannst du # quadrieren.

Das gibt     x²  + y ²   ≥  1  - 2y  +  y²  

   x²   ≥   1  - 2y 

  y    ≥   1/2    -   x² / 2

also alles was oberhalb der Parabel mit  y =   1/2    -   x² / 2

liegt.

Answer 2

Hi,

sei \( z = a+ib \) dann gilt \( \frac{1}{z} = \frac{a-ib}{a^2+b^2} \) und deshalb gilt
$$ \Im \left( {\frac{1}{z}} \right) = -\frac{b}{a^2+b^2} $$ Daraus folgt es muss gelten $$ a^2 + b^2 +\frac{1}{2}b = 0 $$
Also $$ a^2 +\left( b+\frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16} $$
Damit liegen die Werte für \( a \) und \( b \) auf einem Kreis um \( \left( 0, -\frac{1}{4} \right) \) mit Radius \( \frac{1}{4} \)