Grenzwert von reellen Folgen

Question

Hallo

zeige: zwei reelle Folgen a_n und b_n haben die Grenzwerte a bzw. b, dann konvergiert die Folge (a_n + 2*b_n) gegen a+2b

Answer 1

Das ließe sich ganz leicht auf die sog. "Grenzwertsätze" zurückführen,

aber scheint's hattet ihr die (noch)

nicht. Dann vielleicht so:

Um zu zeigen   (a_n + 2*b_n) geht gegen a+2b muss man zeigen:

Zu jedem eps>0 gibt es N mit  n>N ⇒  |    (a_n + 2*b_n)   -  ( a +2b ) | < eps.

Sei also eps>0

Wir suchen ein N mit    n>N ⇒  |    (a_n + 2*b_n)   -  ( a +2b ) | < eps.

Das formen wir nun um : 

|    (a_n + 2*b_n)   -  ( a +2b ) | < eps.

⇔  |    (a_n -a  )  + 2* ( b_n   - b ) | < eps. 

Das ist wegen der Dreiecksungl. erfüllt,

wenn gilt:|  a_n -a  | + 2* | b_n   - b  | < eps.     #


# ist jedenfalls erfüllt, wenn 

|  a_n -a  |  < eps/2     und   | b_n   - b  | < eps/4  .

Wegen der Konvergenz von an und bn  gibt es  jedenfalls

ein N1 und N2 mit   n>N1 ⇒  | an - a |  < eps/2     *

und           n>N2 ⇒  | bn - b |  < eps/4.  **

Wähle nun N = max ( N1 ; N2) dann gilt für n > N

sowohl * als auch **, also gilt für  n > N   auch #

und damit ist der Beweis beendet.

Answer 2

Sei ε_a, und N_a ∈ ℕ so dass alle Folgenglieder von (a_n)_n∈ℕ ab der Stelle N_a in dem Intervall [a-ε_a, a+ε_a] liegen.

Sei ε_b, und N_b ∈ ℕ so dass alle Folgenglieder von (b_n)_n∈ℕ ab der Stelle N_b in dem Intervall [b-ε_b, b+ε_b] liegen.

Dann liegen alle Folgenglieder von (a_n + 2b_n)_n∈ℕ ab der Stelle N:=max {N_a, N_b} in dem Intervall [a-ε_a + 2(b-ε_b) a+ε_a + 2(b+ε_b)] = [a+2b - (ε_a+ε_b), a+2b + (ε_a+2ε_b)].

Sei ε>0. Seien  ε_a,ε_b> 0 so dass (ε_a+2ε_b) < ε ist. Dann liegen alle Folgeglieder von (a_n + 2b_n)_n∈ℕ ab einer gewissen Stelle in dem Intervall [a+2b - ε, a+2b + ε].