Beweisen Sie: M \ (A ∩ B) = (M \ A) ∪ (M \ B)

Question

Es sei M eine Menge und es seien A ⊆ M und B ⊆ M. 

Beweisen Sie: 

M

Comments

Siehe Titel. Die Aufgabe hat es irgendwie nicht komplett übernommen.

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du könntest ja so vorgehen dass $$A \nsubseteq B \wedge B \nsubseteq A$$ gelten soll

Dann ist M $$M \setminus (A \cap B) = M \setminus \emptyset = M$$

und dann ist M ohne A vereinigt M ohne B = M

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ich wollte noch sagen $$(M \setminus A) \cup (M \setminus B) = (M \cup M ) \setminus (A \cup B) = M \cup (M \setminus (A \cup B)) = M$$

aber das ist ja nur für den fall A ungleich B ist

Answer 1

Sei m ∈ M \ (A ∩ B).

Dann ist m ∈ M und m ∉ A ∩ B.

Wegen m ∉ A ∩ B ist m ∉ A oder m ∉ B.

Falls m ∉ A, dann ist m ∈ M \ A, wegen m ∈ M.

Falls m ∉ B, dann ist m ∈ M \ B, wegen m ∈ M.

Also ist m ∈ (M \ A) ∪ (M \ B).

Somit ist M \ (A ∩ B) ⊂ (M \ A) ∪ (M \ B).

Zeige auf ähnliche Weise, dass auch (M \ A) ∪ (M \ B) ⊂ M \ (A ∩ B) ist.