Wenn V ein K-Vektorraum ist und W1 und W2 Untervektorräume, so ist auch W1 ∩ W2 ein Untervektorraum.

Question

Folgende Aussage:

Wenn V ein K-Vektorraum ist und W1 und W2 Untervektorräume, so ist auch W1 ∩ W2 ein Untervektorraum.

Ist sie richtig oder falsch?

Also ich habe noch kein Gegenbeispiel dafür gefunden. kann es aber auch nicht begründen.

Comments

Die Aussage ist wahr. Dies kannst du auch ganz leicht verifizieren, indem du die Axiome mal nachrechnest.

Problematisch ist es in algebraischen Strukturen eigentlich immer nur, wenn man zwei Unterstrukturen  vereinigen möchte.

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Also wäre W1 ∪ W2 kein Untervektorraum?

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Nur dann, wenn gilt: W1⊂W2 oder umgekehrt, das heißt, wenn sie den jeweils anderen enthalten. Es ist also abhängig auf welche Ordnung du operierst.

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Ah okay. Ich hatte das zum Beispiel im lR- Vektorraum mit {0} und lR als Untervektorräume geprüft. Hier ist dann natürlich W1 ∪ W2 wieder Untervektorraum aber nur weil {0} ⊂ lR. Da hast du mir echt die Augen geöffnet. Hast du vielleicht ein konkretes Gegenbeispiel bei dem W1∪W2 kein Untervektorraum ist?

Answer 1

 Hast du vielleicht ein konkretes Gegenbeispiel bei dem W1∪W2 kein Untervektorraum ist?

V = IR²  und   W1 =  { (x;y) ∈  IR²    |   x=0 }      W2 =  { (x;y) ∈  IR²    |   y=0 }Dann sind  z.B.    ( 1;0)  und (0;1) in der Vereinigung, ihre Summe aber nicht,müsste aber drin sein, wenn es ein Unterraum wäre.