a) Abelsche Gruppe:
Wohldefiniertheit von \((\star):\)
$$\star\!:G\times G\rightarrow G\!: (a,b)\mapsto ab+a+b$$
Da \(\mathbb R\) sowohl additiv als auch multiplikativ abgeschlossen ist, müssen wir nur aufpassen, dass kein Paar auf \(-1\) abgebildet wird:
$$ab+a+b=-1 \Leftrightarrow a(b+1)+b=-1 \Leftrightarrow a(b+1)=-1-b\Leftrightarrow a=\frac{-(1+b)}{b+1}=-1$$ für \(b\neq-1.\) Also bilden alle Elemente von \(G\) wieder nach \(G\) ab.
Assoziativität: $$\forall a,b,c \in G\!: (a\star b)\star c=(ab+a+b)\star c=(ab+a+b)c+(ab+a+b)+c=abc+ab+ac+bc+a+b+c=a(bc+b+c)+a+bc+b+c=a\star(bc+b+c)=a\star b\star c.$$
Neutrales Element: $$\forall a\in G\!: 0\star a=0a+0+a=a=a0+a+0=a\star0.$$
Inverses Element: $$\forall a\in G\exists b\in G\!: a\star b=b\star a=0.$$
Nebenrechnung:
$$xy+x+y=0\Leftrightarrow (x+1)y=-x\Leftrightarrow y=-\frac x{x+1}\Rightarrow \forall x\in G\!: y\in \mathbb R.\\ y=-1 \Leftrightarrow -\frac x{x+1}=-1\Leftrightarrow -x=-x-1\Leftrightarrow 0=-1. \text{ falsche Aussage}$$
Also ist \(\forall a\in G\!:a^{-1}=-\frac a{a+1}\) das inverse Element von \(a\) und das Inverse liegt in \(G\). Das Rechtsinverse können wir uns sparen, da wir ja die Kommutativität zeigen. Diese gilt dann auch für die Rechtsinversen, also sind alle Rechtsinversen auch Linksinverse.
Abelsch:
$$\forall a,b\in G\!: a\star b=ab+a+b=ba+b+a=b\star a.$$
b) \(3\star x \star x = 15:\)
Das Inverse von \(3\) in \(G\) ist \(-\frac34:\)
$$3\star x \star x = 15\Leftrightarrow x\star x=(-\frac34)\star 15\Leftrightarrow x^2+x+x=-\frac{45}4-\frac34+15\Leftrightarrow x^2+2x=3\Leftrightarrow x^2+2x-3=0.$$
Quadratische Gleichung lösen:
Hier verwende ich die Regel von Summe und Produkt für quadratische Gleichungen:
$$x^2+2x-3=(x-a)(x-b) \Leftrightarrow -a-b=2\land ab=-3\Leftrightarrow a=-3\land b=1.$$
Also:
$$3\star x \star x = 15\Leftrightarrow (x+3)(x-1)=0\Leftrightarrow x=a=-3 \lor x=b=1.$$
c) Untergruppe:
Wir haben gerade vorhin gesehen, dass für \(3\in\mathbb Z\setminus\{-1\}\!: 3^{-1}=-\frac34\not\in \mathbb Z\setminus\{-1\}.\)
