0 Daumen
10k Aufrufe
Hi , ich hoffe ihr könnt mir mit einer aufgabe zu äquivelenzrelationen weiterhelfen.

Hier die Aufgabe:

Auf ℤ×ℤ (ℤ\{0}) sei die Relation ~ definiert durch (a,b)~(c,d):⇔ad=bc.

Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.

So, ich hab nun leider keine Ahnung was ich machen bzw. wie ich anfangen muss. Außerdem darf ich auch keine Brüche verwenden.

 Bitte helft mir! Ich möchte das ganze ja verstehen.
von

1 Antwort

0 Daumen
Damit eine Relation Äquivalenzrelation ist, müssen drei Bedingungen erfüllt sein:

I) Die Relation muss symmetrisch sein: Wenn x~y, dann muss auch y~x gelten.

II) Die Relation muss reflexiv sein: Für alle x muss x~x gelten.

III) Die Relation muss transitiv sein: Wenn x~y und y~z gilt, dann muss auch x~z gelten.

 

Ad I): Es gelte (a, b) ~ (c, d). Das bedeutet, dass ad=bc eine wahre Aussage ist.

Zu zeigen ist, dass dann auch (c, d) ~ (a, b) gilt. Das ist nach der Definition der Relation äquivalent zu cb = da, was offensichtlich erfüllt ist.

Ad II): Zu zeigen ist, dass (a, b) ~ (a, b) für alle a, b ∈ ℤ gilt:
Das ist äquivalent zu ab = ba, was offensichtlich eine wahre Aussage ist.

Ad III): Es gelte (a, b) ~ (c, d) und (c, d) ~ (e, f). Zu zeigen ist, dass dann auch (a, b)~(e, f) gilt.

Aus den beiden Relationen folgt zunächst die Richtigkeit der folgenden Gleichungen:

ad = bc (1)

und

cf = de (2)

Zu zeigen ist:
af = be

Dann multiplizieren wir an (1) erstmal ein f ran. Dann folgt:

adf = bcf

Gemäß (2) also:

adf = bde

Jetzt multiplizieren wir an diese Gleichung noch ein c, damit folgt:

adfc = bdec

Nach dem Kommutativgesetz folgt nun:

(af)*(dc) = (be)*(cd)

Subtrahiert man nun auf beiden Seiten (be)*(cd) erhält man:

(af)*(cd) - (be)*(cd) = 0

Nach dem Assoziativgesetz:
(af - be)*(cd) = 0

Da die Definitionsmenge ℤ\{0} ist, folgt daraus, dass

af-be = 0

also

af = be

gilt, was zu zeigen war.

 

Es sind also alle drei Bedingungen erfüllt, die Relation ist eine Äquivalenzrelation.
von 10 k
ad = bc (1) und cf = de (2)

Zu zeigen dass af=be ist geht auch kürzer.

mit cf multiplizieren

adcf=bccf (cf entspricht auch de)

adcf=bcde durch cd

af=be

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community