Direkter Beweis: 19 teilt (11^2n - 4^3n)

Question

Beweise(Direkt):

Für alle n ∈ ℕ gilt:

19 teilt (11²ⁿ-4³ⁿ⁾

Ich beiß mir an dieser Aufgabe jetzt seit Stunden die Zähne aus. Ich komm nicht drauf, weder durch binome, faktorisieren o.ä.

Mit vollständiger Induktion hätt ichs geschafft aber als direkten Beweis.. :(

Vielen Dank schonmal.

Answer 1

Korrektur nach dem Beitrag von Gast hj2144

11^{2·n} - 4^{3·n} MOD 19

= 121^n - 64^n MOD 19

= (6·19 + 7)^n - (3·19 + 7)^n MOD 19

= 7^n - 7^n MOD 19

= 0 MOD 19

Comments

Einfacher :

11²ⁿ - 4³ⁿ  =  121^n - 64^n = (6·19+7)^n - (3*19+7)^n ≡ 0 mod 19

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Vielen lieben Dank für die Vereinfachung.