Algorithmus zur Berechnung von Quadratwurzeln.

Question

Wir untersuchen in dieser Aufgabe einen Algorithmus zur Berechnung von Quadratwurzeln.
Sei a e ]0;unendlich[. Man wähle x₁ > Wurzel(a) und de finiere für neN.

x_n+1:= 1/2 +(x_n + a/x_n).

(a) Zeigen Sie, dass (x_n)_neN monoton fallt und lim n->unendlich x_n =Wurzel(a).

.
(b) Wir de nieren den Fehler e_n := x_n -Wurzel(a) .

Zeigen Sie, dass

e_n+1 =e_n ² / 2x_n< e_n ² / 2*Wurzel(a)

gilt. Folgern Sie hieraus per Induktion die Abschatzung

e_n+1/2Wurzel(a) < (e₁/2Wurzel(a))²ⁿ.

c) Sei a=3 und x₁=2. Zeigen Sie, dass e₁ /2Wurzel(a) < 1/10 gilt und daher

e₅ < 4*10¹⁶.

Berechnen Sie per Taschenrechner a_j und a_j -Wurzel(3) für j=1,...,5.

Comments

x_n+1:= 1/2 +(x_n + a/x_n). Wenn es das Heron-Verfahren sein soll,  muss es heißen x_n+1:= 1/2 ·(x_n + a/x_n).  

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Die Frage gibt es schon.

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wo gibt es die denn?