Funktion auf Stetigkeit untersuchen. f(x):= x sin (1/x) falls x ≠ 0 , f(x):= 0 falls x = 0

Question

Folgende Funktion ist auf Stetigkeit in [-π,π] zu untersuchen:

f(x) =       x sin 1/x   falls x ≠ 0

                0              falls x = 0

Kann mir jemand bitte möglichst genau erklären, wie ich bei obigem Beispiel am besten vorgehe?

Comments

Vgl. https://www.mathelounge.de/369882/untersuchen-sie-die-funktion-auf-stetigkeit-bsp-sin-fur-und

Ausserhalb von x = 0, sind g(x) = 1/x , h(x) = sin(x) und Verknüpfungen und Produkte von stetigen Funktionen stetig (habt ihr wohl bewiesen).

Nun noch die Stelle x=0.

| sin(1/x) | ≤ 1

|x * sin(1/x) | ≤ | x|

lim_(x->0) |x * sin(1/x) | ≤ lim_(x->0) | x|   = 0 

Da sie mit dem Funktionswert in x=0 übereinstimmt ist, f(x) auch in x=0 stetig.

f(x) =       x sin 1/x   falls x ≠ 0

                0              falls x = 0

Answer 1

die zu untersuchende Stelle ist x = 0.

Zunächst : lim x −> 0 ( + ) [ 1 / x ] = +∞

Nun ist  +∞ keine Stelle auf dem Zahlenstrahl für die ein sin-Wert abgelesen
werden kann.
In Richtung +∞ oszilliert der sin zwischen -1 und +1.
Es ergibt sich
lim x −> 0 ( + ) [ x * sin ( 1 / x  ) ] = null * ( -1 .. +1 )
Dies ergibt null.

Für den linksseitigen Grenzwert gilt entsprechendes.
Linksseitig - Funktionswert - rechtsseitig :  0 - 0 - 0

Die Funktion ist stetig.

mfg Georg

Answer 2

Folgende Funktion ist auf Stetigkeit in [-π,π] zu untersuchen:

f(x) =       x sin(1/x)   falls x ≠ 0

                0              falls x = 0

Für x ∈  [-π,π] \ {0} ist f als Produkt bzw. Kompositon stetiger Funktionen in x stetig

lim_x→0 f(x) = 0 = f(0)  

wegen x → 0      und  -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1  (Sinusterm ist beschränkt) 

→   f stetig in x=0

f ist also in  [-π,π]  stetig.

Gruß Wolfgang