In der Aufgabe sei p ∈ (1,∞) und q := p/(p-1).(i) Zeige, dass die Young'sche Ungleichung $$ st\quad \le \quad \frac { 1 }{ p } { s }^{ p }\quad +\quad \frac { 1 }{ q } { t }^{ q } $$ für s,t ≥ 0, indem man die Konvexität des Logarithmus benützt.Für -∞ < a < b < ∞ und eine Riemann-integrierbare Funktion f : [a,b] → ℝ ist die p-Norm von f auf [a,b] durch $$ { \left\| f \right\| }_{ p }\quad :=\quad { \left[ \int _{ a }^{ b }{ { \left| f(x) \right| }^{ p }\quad dx } \right] }^{ \frac { 1 }{ p } } $$ definiert.(ii) Zeige, die Hölder'sche Ungleichung $$ \int { \left| fg \right| dx } \quad \le \quad { \left\| f \right\| }_{ p }{ \left\| g \right\| }_{ q } $$ indem man in Aufgabe (i) die Parameter s und t geschickt wählt und anschließend integrieren.(iii) Zeige, dass auf dem Raum V := { f : [a,b] → ℝ: f integrierbar und stetig } der Riemann-integrierbaren und gleichzeitig stetigen reellwertigen Funktionen auf [a,b] die p-Norm tatsächlich eine Norm ist. Zeige, dass|f+g|p ≤ |f| |f+g|p-1 + |g| |f+g|p-1 gilt und integriere diese Beziehung und wende im Anschluss die Hölder-Ungleichung auf beide Summanden an.(iv) Wenn man in (iii) die Annahme der Stetigkeit an f streicht, lassen sich nicht mehr alle Norm-Eigenschaften nachweisen. An welcher Stelle gibt es Probleme und warum?
