e-Funktion nach x auflösen: (e^x + e^{-x} + 3)*e^x = e^{2x} + 5e^{-2x} + 2

Question

unabhängig von der Gleichung würde ich gerne wissen wie man nach x auflöst. Kann mir das jemand schrittweise zeigen auch wenn man schon weiß das es nicht das gleiche ist? Will nur wissen wie man solche Gleichung nach x auflöst

Comments

Du hast deine Frage soeben konkretisiert. Über diese Aufgabe muss ich noch etwas nachdenken.

Answer 1

(e^x + e^{-x} + 3)*e^x = e^{2x} + 5e^{-2x} + 2 

e^{2x} + 1 + 3e^x = e^{2x} + 5e^{-2x} + 2

3e^x = 5e^{-2x} + 1

Ab hier ist dann die Frage, ob du dich für die exakte oder für die numerische Lösung interessierst, und ob du allenfalls auch komplexe Lösungen brauchst.

Hier mal ein Vorschlag von

https://www.wolframalpha.com/input/?i=3e%5Ex+%3D+5e%5E(-2x)+%2B+1

numerisch

Exakt:

Comments

ok danke aber kann man das nicht selber rechnerisch lösen?

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Also die reelle Lösung kannst du z.B. mit dem Newtonverfahren näherungsweise bestimmen.

Du siehst, dass Wolframalpha eine exakte Lösung ausrechnen kann. Das könnte daran liegen, dass er formal

3e^x = 5e^-2x + 1 

in

3u = 5/u^2 + 1 substituiert .

3u^3 = 5 + u^2

3 u^3 - u^2 + 5 = 0 

ist ein kubische Gleichung. Dafür gibt es exakte Verfahren, die aufwändig sind. 

Danach braucht es dann noch eine Rücksubstitution. 

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was meinst du mit exakte Verfahren? Dachte bei kubischen Gleichungen muss man die erste Nullstelle raten?

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Mit Raten wirst du nicht auf den Term in der Klammer nach dem log kommen. 

In der Schule wird am ehesten das Newtonverfahren besprochen, wenn man nicht raten kann. 

Interessieren dich die exakten Verfahren?

Dann kannst du dich z.B. durch den Wissensblock hier durcharbeiten:

https://www.matheretter.de/wiki/kubische-gleichungen

Suche die dort verwendeten Fachbegriffe auch in der Wikipedia (z.B.).