Bertrandsches Paradoxon Stochastik

Question

Hallo ! Kann jemand bei dieser Aufgabe in Stochastik helfen ?

Answer 1

Wo liegt genau deine Frage ? Du sollst hier nur die Wahrscheinlichkeiten bestimmen. 

a) 0.3333

b) 0.6090

Wobei meine Rechnung ungeprüft ist und Fehler enthalten kann. Schau mal ob du auf die gleichen Ergebnisse kommst.

Comments

Ich weiß nicht , wie ich vorgehen soll. Also zum beispiel bei a ) habe ich ein gleichseitiges Dreieck und Sehne mit zwei Punkte . Damit die Sehnenlänge größer als die Seitenlänge des Dreiecks ist,muss die Winkel zu Punkt (0,0) größer als die Winkel von Seitenläge zu (0,0) . Also kannst du mir zeigen wie du zur diese Berechnung gekommen bist

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Du zeichnest das gleichseitige Dreieck und den Umkreis. Hier von wählst du eine Ecke als Punkt 1 aus. Wo musst du jetzt den 2. Punkt wählen damit die Sehne länger ist als die Seitenlänge des Dreiecks?

Nun nach Laplace. Anzahl günstiger Punkte durch Anzahl aller Punkte. Nun ja da es unendlich viele sind, kann man hier auch Strecken nehmen.

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kannst du die berechnungen schreiben ,weil mir leider nicht klar ist?

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Mal dir mal die Skizze auf. Im ersten Fall braucht man nicht man was berechnen. Da genügt das hinsehen.

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ich hab das skiziert 

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Jetzt markierst du die Spitze des Dreiecks als deinen ersten Punkt. Wohin musst du dann den 2. Punkt auf der Kreislinie setzen damit die Sehne länger ist als die Dreiecksseite ? Markiere diese Strecke auch. Wie lang ist die markierte Strecke gegenüber der Kreislinie ?

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wenn ich zum beispiel das Dreieck ABC benenne und A ist mein Punkt (1,0) dann muss der zweite Punkt zwischen B und C sein damit die Sehne größer ist aber wie kann ich das beschreiben und Wie hast du die Wahrscheinlichkeit berechnet

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Achso Wahrscheinlichkeit ist P(A) = 1/3 da die Umkreis durch das Dreieck in 3 Teile geteilt ist und der zweite Punkt muss genau in einem der Teile sein

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Richtig. Du hast es erfasst. Das zweite Problem ist etwas schwieriger aber auch durchaus zu bewältigen. Nun soll ein weiterer Punkt ins innere des Kreises gesetzt werden, damit die Seitenlänge erneut größer ist als die des Dreiecks.

Welche Punkte des Kreises kommen dafür in Frage. Berechne dann die Wahrscheinlichkeit als Quotient der betreffenden Flächen.

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wie kommst du aber zu dieser Wahrscheinlichkeit bei b ?

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Hm . Kannst du mal diese Fläche skizzieren ?

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Die Fläche besteht aus dem Dreieck und dem darunter liegenden teil des Kreises.

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Diese Unten ?

und ich habe 3 solche fläche und noch die fläche des Dreiecks wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit

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Ja, Die Fläche unter dem Dreieck meine ich.

Zur Wahrscheinlichkeit bildest du den Quotienten aus der Summe der Dreiecksfläche und dem Kreisteil und der gesamten Kreisfläche.

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Also ich nehme an , dass die Kreisfläche ist 1 .
Sei a die Dreiecksfläche und b Kreisteilfläche
dann:
a+3b = 1
b = (1-a)/3 aber das ergibt kein Wert für die Wahrscheinlichkeit

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Nimm einfach an du hast ein Dreieck mit der Seitenlänge a.

https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichseitiges_Dreieck

Wichtig sind hier zunächst der Flächeninhalt und der Umkreisradius.

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dann die Kreisfläche ist pi * √3a/3
Dreiecksfläche ist a²✓3/4
also ergibt Wahrscheinlichkeit =( pi * √3a/3 - a²✓3/4)/3 ?

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Nein das sieht doch etwas komplizierter aus.

((Kreis - Dreieck)/3 + Dreieck) / Kreis

Mit den Formeln

((pi·(√3/3·a)^2 - √3/4·a^2)/3 + √3/4·a^2) / (pi·(√3/3·a)^2)

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warum addierst du das Dreieck ?

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Weil ich doch auch einen Punkt ins Dreieck setzen könnte. Wie gesagt setzt sich die Punktemenge zusammen aus dem Dreieck und der darunter liegenden Kreisfläche. Nicht nur aus der Kreisfläche.

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wenn aber in Dreieck ist dann ist die Sehne kleiner als die Seitenlänge . Und nach der Berechnung von obener Formel bekomme ich 1/3 + (3*√3)/4pi

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kannst du die Berechnung zeigen(wenn du das auf Papier berechnet hast)

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Dann male mal einen Punkt in das Dreieck und eine Sehne, die durch den oberen Punkt und den Punkt im Dreieck geht.

((pi·(√3/3·a)² - √3/4·a²)/3 + √3/4·a²) / (pi·(√3/3·a)²) 

((pi·(√3/3)² - √3/4)/3 + √3/4) / (pi·(√3/3)²) 

((pi·1/3 - √3/4)/3 + √3/4) / (pi·1/3) 

(pi·1/9 - √3/12 + √3/4) / (pi·1/3) 

(pi·1/9 + 2√3/12) / (pi·1/3) 

1/3 + √3/(2·pi)

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"wenn aber in Dreieck ist dann ist die Sehne kleiner als die Seitenlänge . "

Bitte zeichne es mal ein. Vielleicht ist da ein kleines Missverständnis.

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Vielen Dank für die Hilfe