Auflösen einer bestimmen Gleichung y-2 + 2y-1 - 15 = 0

Question

If $y^{-2}+2 y^{-1}-15=0$, which of the following could be the value of $y$ ?

(A) $3$
(B) $\frac{1}{5}$
(C) $-\frac{1}{5}$
(D) $-\frac{1}{3}$
E) $-5$

Bei der Aufgabe kann man natürlich alle Antwortmöglichkeiten ausprobieren, aber dass dauert doch zu lang.. wenn ich die Gleichung nach y = auflösen will komme ich immer zum schluss auf:

y³ = 0,2 Die Lösung soll aber c) -1/5 sein, wenn ich die dritte wurzel aber aus 0,2 ziehe um y= zu bekommen, komme ich natürlich nicht auf -1/5 oder -0,2.

Answer 1

Wir müssen gar nicht mit y³ kämpfen :-)

 

y^-2 + 2 * y^-1 - 15 = 0

kann geschrieben werden als

1/(y²) + 2/y - 15 = 0

Alles mit y² multiplizieren ergibt

1 + 2y - 15y² = 0

Dividieren durch -15 und umstellen ergibt

y² - 2/15 * y - 1/15

p-q-Formel:

y1 = 1/15 - √(1/225 + 15/225) = 1/15 - 4/15 = -3/15 = -1/5

y2 = 1/15 + √(1/225 + 15/225) = 1/15 + 4/15 = 5/15 = 1/3

 

Da 1/3 nicht zur Wahl steht, bleibt nur -1/5

Answer 2

Ein Alternativvorschlag.

 

Für jene, die nicht mit y² muliplizieren wollen, kann man auch 1/y=u setzen. Dann kann man direkt die pq-Formel anwenden:

 

u²+2u-15=0    |pq-Formel

u₁=-5 und u₂=3

 

Nun wieder den Kehrwert bilden (aus der Substitution): y₁=-1/5 und y₂=1/3.

 

y₁ ist aufgelistet und damit des Rätsels Lösung.

 

Grüße