Nullstelle berechnen mit negativen Exponenten

Question

0= 8x + 16,5 -4000x^-2 -1000x^-3 

Kann mir jemand behilflich sein? Bin schon sehr weit in meiner Aufgabe gekommen mir fehlt nur noch dieser letzte Schritt zu Berechnung der Nullstelle nur erhalte ich nicht das richtige Ergebnis.

Answer 1

Hallo Sam,

0 = 8x + 16,5 - 4000x^-2 - 1000x^-3  

 ^⇔  0 = 8x + 16,5 - 4000 / x² -1000 / x³   | * x³  

⇔   0 = 8 x⁴ + 16,5 x³ - 4000 x - 1000   |  : 8

⇔  0 = x⁴ + 2,0625 x³ - 500 x  - 125 

Die Lösung mit  Formeln ist lästig:

https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung

Man benutzt deshalb meist ein numerisches Näherungsverfahren, zum Beispiel das

Newtonverfahren:

Gesucht: Nullstellen von f(x) =  x⁴ + 2,0625 x³ - 500 x  - 125 

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Infos dazu findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Rechnerlösungen:

reell:     x₁  =≈ - 0.2500566773   ;   x₂  ≈ 7.393527696

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komplex:   zwei weitere Lösungen  

 x₃ ≈ - 4.602985509 - 6.813509561·i    ;     x₄ ≈ - 4.602985509 + 6.813509561·i

Gruß Wolfgang