Es sei A c R eine überabzählbar-unendliche Teilmenge der reellen Zahlen...

Question

Es sei A ⊂ ℝ eine überabzählbar-unendliche Teilmenge der reellen Zahlen. Zeigen Sie, dass es dann eine injektive Abbildung f : ℕ -> A gibt, sodass die durch

an := f (n) , n ∈ ℕ

definierte Folge konvergiert. Ist die Bedingung "A ist überabzählbar-unendlich" notwendig für die Gültigkeit der obigen Aussage?

Comments

ich hätte einen hinweis:

f ist injektiv → f(n) =: (a_n)  ist streng monoton wachsend/fallend 

wenn (a_n)  dann noch beschränkt ist, konvergiert (a_n) 

nein die bedingung ist nicht nötig da N abzählbar unendlich ist und (a_n) = f(n) durch n ∈ N abgezählt werden kann. 

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nein die bedingung ist nicht nötig da N abzählbar unendlich ist und (a_n) = f(n) durch n ∈ N abgezählt werden kann und da f injektiv ist solte es heißen

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entschuldige aber bitte verwende dass nicht ich habe gedacht f  : A →N ist injektiv aber es ist ja umgekehrt.

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Ist A überabzählbar unendlich, ist gleich bedeutend mit f : N → R
Dann liegt auf der y-Achse ganz R und damit ist der Grenzwert a_{n  →} a ∈ R

Wäre A abzählbar unendlich, gibt es eine Injektion von N nach A und von A nach N.

Dann liegt auf der y-Achse N und der Grenzwert a_{n  →} a ∈ N dann gibt es keine Umgebung in der fast alle Folgenglieder liegen sondern die Folgenglieder müssen gleich dem Grenzwert sein. Dann ist aber f aber nicht mehr injektiv.

Nein die Bedingung ist nicht notwendig da f injektiv sein soll.

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Du widersprichst dir selbst in deinem letzten Kommentar. 

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ja die bedingung ist notwendig