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Lineare Abbildungen von  R^2 zu R^2 finden


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d) ist keine lineare Abbildung, da f((0|0)) ≠ (0|0)

Bitte Fragestellung selbst exakter angeben.

$$\text{(e) }\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x\\y-x\end{pmatrix}.$$

In jedem der folgenden Fälle: Bestimmen Sie, ob es keine, eine oder mehrere lineare Abbildungen von R2 nach R2 mit den angegebenen Eigenschaften gibt 

Habe keine Ahnung wie ich das beweisen soll

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nn, gibt es jetzt bei e eine oder mehrere lineare Abbildungen?

Typischerweise ist eine lineare Abbildung \(f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) der Gestalt \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}\).
Nun soll gelten \(\begin{pmatrix}x\\x+1\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}\). Sukzessive folgt \(b=0,a=1,d=1,c=-1\).

Danke und wie beweist man f?

Analog zu (e) findet man bei (f) \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}0\\ry\end{pmatrix}\) mit beliebigem \(r\in\mathbb R\).

Das heißt, es gibt unendlich viele Abbildungen?

Das heißt es. Jede reelle Zahl stellt eine der gefragten linearen Abbildungen dar.

2 Antworten

+3 Daumen

d e erledigt.

f)   Alles auf ( 0;0) abbilden klappt immer .


Avatar von 287 k 🚀

Wie zeigt man das?

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was wäre denn beispielsweise:

$$ f_4 \left( \begin{pmatrix} x+y \\ 0 \end{pmatrix}\right) = ?$$

$$ f_4 \left( \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}\right) +f_4 \left( \begin{pmatrix} y \\ 0 \end{pmatrix} \right) = ?$$

für \(x,y \in \mathbb{R} \)?

Gruß,

Avatar von 23 k

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