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Lineare Abbildungen von  R^2 zu R^2 finden


Bild Mathematik

von

d) ist keine lineare Abbildung, da f((0|0)) ≠ (0|0)

Bitte Fragestellung selbst exakter angeben.

$$\text{(e) }\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x\\y-x\end{pmatrix}.$$

In jedem der folgenden Fälle: Bestimmen Sie, ob es keine, eine oder mehrere lineare Abbildungen von R2 nach R2 mit den angegebenen Eigenschaften gibt 

Habe keine Ahnung wie ich das beweisen soll

Bild Mathematik

nn, gibt es jetzt bei e eine oder mehrere lineare Abbildungen?

Typischerweise ist eine lineare Abbildung \(f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) der Gestalt \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}\).
Nun soll gelten \(\begin{pmatrix}x\\x+1\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}\). Sukzessive folgt \(b=0,a=1,d=1,c=-1\).

Danke und wie beweist man f?

Analog zu (e) findet man bei (f) \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}0\\ry\end{pmatrix}\) mit beliebigem \(r\in\mathbb R\).

Das heißt, es gibt unendlich viele Abbildungen?

Das heißt es. Jede reelle Zahl stellt eine der gefragten linearen Abbildungen dar.

2 Antworten

+3 Daumen

d e erledigt.

f)   Alles auf ( 0;0) abbilden klappt immer .


von 152 k

Wie zeigt man das?

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was wäre denn beispielsweise:

$$ f_4 \left ( \pmatrix{x+y \\ 0}\right) = ?$$

$$ f_4 \left ( \pmatrix{x \\ 0}\right) +f_4 \left( \pmatrix{y \\ 0} \right) = ?$$

für \(x,y \in \mathbb{R} \)?

Gruß,

von 23 k

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