Analysis 1 - Konvergenz von Reihen

Question

Hey zusammen,

ich benötige Hilfe/Denkanstöße bei der folgenden Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius ρ für die Potenzreihe

$$\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { { (z+1) }^{ k } }{ k } }$$

Konvergiert die Reihe für alle z∈ℂ mit |z+1|=ρ?

In der Vorlesung haben wir ρ als

$$\frac { 1 }{ \lim _{ n->\infty }{ sup\quad \sqrt [ k ]{ { c }_{ k } } } }$$

definiert. Wobei ck die Koeffizienten sind (hier ist ck = 1/k).

Reicht es nun zu zeigen, dass $\left( \sqrt [ k ]{ k } \right)$ gegen 1 konvergiert? Denn dann müsste $\left( \sqrt [ k ]{ \frac { 1 }{ k } } \right)$ auch gegen 1 konvergieren. Dann ist der limes superior gleich dem Grenzwert?

Bliebe zu zeigen/widerlegen, dass die Reihe für alle z mit |z+1|=ρ konvergiert.

Dann müsste ja |z-1|<ρ sein, aber das gilt z.B. für z=-2i nicht, also ist diese Aussage falsch?

Sind meine Gedanken soweit richtig? Vielen dank schon einmal.

Gruß

Answer 1

Dann ist der limes superior gleich dem Grenzwert?  

Wenn es konvergiert, ist das immer so.

Bliebe zu zeigen/widerlegen, dass die Reihe für alle z mit |z+1|=ρ konvergiert.

Dann müsste ja |z-1|<ρ sein,Nein,  der Konvergenzradius sagt dir nur, dass es für   |z-1|<ρ

jedenfalls konvergiert. 

Den Fall  |z-1| =  1  muss man jedenfalls extra betrachten.

wenn es für ein z mit    |z-1| =  1  konvergieren würde, dann würde auch die


Reihe der Beträge konvergieren, das ist aber die harmonische Reihe, die


nicht konvergiert. Also konvergiert deine Reihe für  |z-1| =  1  nicht.

Comments

Ist der Fall =1 wirklich nötig? Ich dachte da |-2-1|=3>1, weswegen die Aussage allgemein schon falsch sein muss.

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Der Sinn der Aufgabe ist aber doch wohl zu zeigen:

Im Inneren des Konvergenzkreises konvergiert es auf jeden Fall.

Für den Rand ( und der ist bei =1 erreicht ) gibt es keine

allgemeine Aussage. In diesem Fall konvergiert es nicht, bei

anderen Reihen schon.