Steckbriefaufgabe: Ermittlung einer Funktionsgleichung 4. Grades mit W(0|0), Wendetangente: x-Achse,…

Question

Der Graph der Funktion fx): y=ax⁴+bx³+cx²+dx+e hat in (0/0) einen Wendepunkt mit der x-Achse als Wendetangente; im Punkt P(-1/ 3/4) hat die Steigung der Tangente den Wert -2 Ermittle die Funktionsgleichung

 

Ich möchte meine Gleichungen kontrollieren welche ich aufgestellt habe

 

f(0)=0

f ´´(0)= 0

f(-1) = 3/4

f ´ ( -2) = -1

f(-1)=0

Answer 1

Ich würde die Informationen folgendermaßen in Gleichungen umsetzen (einige kleine Veränderungen gegenüber Deiner Vorgehensweise): 

 

Der Graph geht durch (0|0), daher

f(0) = 0

 

Er hat in (0|0) einen Wendepunkt, daher

f''(0) = 0

 

Die x-Achse ist in (0|0) Wendetangente, daher

f'(0) = 0    (die x-Achse hat einen Anstieg von 0)

 

Der Graph geht durch (-1|3/4), daher

f(-1) = 3/4

 

Dort ist der Anstieg -2, daher

f'(-1) = -2

 

5 Gleichungen für ein Polynom 4. Grades reichen aus. 

 

Besten Gruß

Comments

Zur Kontrolle: 

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d

f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c

f'''(x) = 24ax + 6b

 

f(0) = 0 = e

f''(0) = 0 = 2c

f'(0) = 0 = d

f(-1) = 3/4 = a -b +c -d + e

f'(-1) = -2 = -4a + 3b -2c +d

=>

c = d = e = 0

a - b = 3/4

-4a + 3b = -2

=> a = -0,25; b = -1

f(x) = -0,25x⁴ - x³ 

Answer 2

Der Graph der Funktion $y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ hat in $W(0|0)$ einen Wendepunkt mit der x-Achse als Wendetangente; im Punkt P$(-1| \frac{3}{4} )$  hat die Steigung der Tangente den Wert $-2$ Ermittle die Funktionsgleichung.

Die x-Achse ist Wendetangente. Deshalb ist an der Stelle $x=0$ eine dreifache Nullstelle.

Weiter mit der Linearfaktorenform der Parabel 4. Grades:

$f(x)=ax^3(x-N)=a(x^4-Nx^3)$

P$(-1| \frac{3}{4})$ :

$f(x)=a(1+N)= \frac{3}{4}$

$a=\frac{3}{4+4N}$:

$f(x)=\frac{3}{4+4N}(x^4-Nx^3)$

$f'(x)=\frac{3}{4+4N}(4x^3-3Nx^2)$

An der Stelle $x=-1$ ist die Steigung der Tangente $m=-2$:

$f'(-1)=\frac{3}{4+4N}(-4-3N)=-2$

$N=-4$:   $a=\frac{3}{4-16}=-\frac{1}{4}$:

$f(x)=-\frac{1}{4}(x^4+4x^3)=-\frac{1}{4}x^4-x^3$