Question

Es sei σ : R ^2 → R^2 die Spiegelung an der Ursprungsgeraden R ·(2, 5)

Bestimmen Sie eine Matrix

S ∈ Mat (2; R) derart, dass σ = h_S gilt,

wobei h_S : R ² → R ² , x ↦ Sx die zu S assoziierte lineare Abbildung ist.

Comments

Im Prinzip musst du wohl einfach die beiden Basisvektoren (1|0) und (0|1) an der Geraden spiegeln. Die gespiegelten Vektoren kommen in die darstellende Matrix der Spiegelung.

Skizze:

~plot~ 5/2 x; x=2; 5; -2/5x+0.4;-2/5x+1 ~plot~

Hier hast du mal die Richtung auf der die Spiegelpunkte liegen. 

Answer 1

Du brauchst die Bilder der Einheitsvektoren    ( 1;0)  und (0;1) .  Die bilden die Spalten

der gesuchten Matrix.

Auf der Zeichnung von Lu siehst du schon:  Das Bild von z.B.    (1;0) liegt auf der Geraden g

(Das ist die  pinkfarbene )  durch (1;0) mit der Steigung -2 / 5    ( weil senkrecht zu R  ) .

Also  g :  y =  -2/5 x  +   2/5  .


Die schneidest du mit R, das gibt (bei mir)  S ( 4/29   ;    10/29  )  und bildest nun den

Vektor von   (1;0)   nach S das ist    ( 4/29   ;    10/29  )  -  (  1 ; 0 )  = ( -25 / 29  ;  10 / 29 )


Das ist die erste Spalte der ges. Matrix. 

Entsprechend mit  ( 0 ; 1 ) und du hast es.