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Aufgabe Punktspiegelung an Ebene:

Es sei \( E \) die Ebene mit der Gleichung \( x+5 y-7 z=150 \). Bestimme den Bildpunkt \( O^{\prime} \) des Nullpunktes bei Spiegelung an der Ebene und entscheide, ob der Punkt \( P(1|1|-20) \) in der Ebene liegt, auf der gleichen Seite der Ebene \( \mathrm{X} \) wie der Nullpunkt oder auf der anderen Seite der Ebene.

von

Auch das ist wieder eine typische Aufgabe für die Hessesche Normalform.

Um O zu spiegeln, brauchst du die HNF noch nicht.

h sei das Lot auf E durch den Ursprung O.

h: (x,y,z) = t*(1,5,-7)

Schneide nun h mit E und verdopple den Ortsvektor des Schnittpunktes. Das ist dann der Ortsvektor von O'.

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[0, 0, 0]·[1, 5, -7] - 150 = - 150

([0, 0, 0] + t·[1, 5, -7])·[1, 5, -7] - 150 = 150 → t = 4

O' = [0, 0, 0] + 4·[1, 5, -7] = [4, 20, -28]

[1, 1, -20]·[1, 5, -7] - 150 = - 4 → Auf der gleichen Seite wie der Nullpunkt.


Könntest du mir noch kurz die ersten beiden Zeilen erklären?

[0, 0, 0]·[1, 5, -7] - 150 = - 150

Das ist der Abstand des Koordinatenursprungs. Allerdings noch nicht durch die Länge des Normalenvektors geteilt.

([0, 0, 0] + t·[1, 5, -7])·[1, 5, -7] - 150 = 150

Jetzt suche ich einen Punkt auf [0, 0, 0] + t·[1, 5, -7] deren Abstand zur Ebene 150 beträgt. Also sich genau auf der anderen Seite befindet.

von 430 k 🚀
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Das mit dem P kannst du auch ohne Hessesche Normalform entscheiden.

Mache einfach eine Gerade durch 0 und P also so:

Vektro x = t * (1/1/-20) und schneide sie mit E.
Das gibt t=75/73 .
Und weil das größer als 1 ist, ist der Punkt auf der anderen Seite der Ebene.
von 259 k 🚀

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