berechne die steigung der Funktion mit Differentialqoutient

Question

F(x) = x^{3    X}_{0    Ist gleich 1}

Answer 1

Hallo Pia,

für beliebiges x₀

f '(x₀)  =  lim_x→xo  \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)  =  lim_x→xo  \(\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}\)  =   lim_x→xo  \(\frac{(x-x_0)·(x^2+x_0·x+x_0^2)}{x-x_0}\) 

             =  lim_x→xo ( x² + x₀ ·x + x₀²)    =    3x₀²   →   f '(1) = 3   

direkt für x₀ = 1

f '(1)  = lim_x→1  \(\frac{x^3-1}{x-1}\)  =  lim_x→1  \(\frac{(x-1)·(x^2+ x+1)}{x-1}\)  =  lim_x→1 (x² + x + 1)    = 3

Den Term x² + x + 1 erhältst du durch die Polynomdivision  (x³ - 1) : (x-1) = x² + x + 1 :

(x³               - 1) : (x - 1)  =  x² + x + 1  

 x³  - x²          

 ————————————————————

        x²        - 1

        x²  - x     

        —————————————

               x   - 1

               x  - 1

               ——————

                    0

Gruß Wolfgang