Kommutative Gruppe über das addive Inverse beweisen

Question

Sei (G,+) eine kommutative Gruppe. Zeigen Sie folgende zwei Aussagen über das additive Inverse.

a) Für alle a ∈ G gilt - (-a) = a

b) FÜr alle a,b ∈ G gilt  -(a + b) = (-a) + (-b)

Hinweis : Benutzen Sie die EIndeutigkeit des additiven Inversen. Beispielweise reicht es bei 2b zu zeigen, dass das behauptete additive Inverse von a + b, also (-a) + (-b), die definierte GLeichung für das additive Inverse, also

(a+b) + ((-a) + (-b)) = 0

Comments

Der wenig sinnvolle Titel "Kommutative Gruppe über das addive Inverse beweisen"  könnte durch "Eigenschaften des Inversen in einer kommutativen Gruppe" ersetzt werden, so dass man bereits beim Lesen des Titels weiß, worum es ungefähr geht.

Der überhaupt nicht sinnvolle Fettdruck in der Frage kann auch herausgenommen werden.

Answer 1

Für alle a ∈ G gilt - (-a) = a

Das heißt ja in Worten:   Das inverse vom Inversen von a

ist das Element a selber.

Wenn b etwa das inverse vom Inversen von a ist, dann muss ja gelten

b + (-a) = 0   und  ( -a) + b = 0 und weil die Gruppe kommutativ ist,

braucht man nur eins davon zu zeigen, etwa das erste:b + (-a) = 0  ist die Bedingung und man muss zeigen,

dass diese für b=a erfüllt ist. Dem ist so, denn wenn man einsetzt hat man

a + (-a) = 0  und das ist erfüllt nach Def. des Inversen von a.

Bei b entsprechend:   -(a + b) = (-a) + (-b)d.h. wie in der Aufgabe genannt:

das  additive Inverse von a + b, ist  (-a) + (-b).

Wäre c das additive Inverse von (a+b) müsste ja gelten


(a+b)  + c =  0   und wenn ich für c den behaupteten Term,


also  (-a) + (-b)  einsetze ergibt sich

(a+b) + (  (-a) + (-b)  )   also wegen der Assoziativität von +

=( (a+b) +  (-a)  ) + (-b)    wegen der Kommutativität

=( (b  +   a   ) +  (-a)  ) + (-b) und noch mal Assoziativität

=( b  + ( ( a   ) +  (-a) )  ) + (-b)   nach Def. des Inversen

=( b  + 0  ) + (-b)      nach Def. des neztr. El.

=   b   + (-b)    und wieder Def. des Inv.

= 0 .

Also wie gewünscht:   (a+b) + (  (-a) + (-b)  ) = 0    q.e.d.

Comments

a habe ich  nicht so genau verstanden wie zeige ich dass a=b ist

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Du zeigst, dass es beim Einsetzen von a an Stelle von b stimmt.