Kriterium Vektor v =(0,0,1,0,0) nicht in Raum U = λ{(1,0,0,1,0),(1,2,2,-1,0),(1,1,1,1,1)}?

Question

Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem:

Der lineare Unterraum U von ℝ⁵ ist wie folgt gegeben :

U = λ{(1,0,0,1,0),(1,2,2,-1,0),(1,1,1,1,1)}

außerdem ist der Vektor v =(0,0,1,0,0) gegeben. Man soll nun zeigen das dieser nicht in U liegt.

Ich habe mir gedacht ich könnte die Basis U als Matrix aufschreiben und v als Lösung, dass ich dann also ein lineares Gleichungssystem habe. Das hab ich dann umgeformt und wie erhofft war der Rang der erweiterten ungleich der normalen Matrix und ungleich der Zeilen anzahl. Es gibt dann also keine Lösungen. Ist das aber ein ausrechender Beweis dafür, dass der Vektor nicht in U liegt? Bzw. wie kann man das sonst zeigen.

Bin über jede Antwort dankbar!

Answer 1

> Es gibt dann also keine Lösungen.

Das ist ein ausrechender Beweis dafür, dass der Vektor nicht in U liegt.

Natürlich voraussgesetzt, du hast das richtige Gleichungssystem zu lösen versucht.

> die Basis U als Matrix aufschreiben

U ist keine Basis. U ist ein linearer Unterraum von ℝ⁵. Das steht so in der Aufgabenstellung.

> und v als Lösung.

Ich dachte du wolltest zeigen, dass es keine Lösung gibt. Das ist schwierig, wenn du dein Gleichungssystem so konstruierst, dass v eine Lösung ist.

Comments

Wieso ich versuche ja zu zeigen das es keine Lösung ist. Wäre es eine Lösung müsste sich das Gleichungssystem eindeutig lösen lassen.Wie könnte ich sonst zeigen dass v nicht in U liegt?

---

v liegt genau dann nicht in U, wenn v nicht als Linearkombination eines Erzeugendensystems von U dargestellt werden kann.

{(1,0,0,1,0),(1,2,2,-1,0),(1,1,1,1,1)} ist ein Erzeugendensystem von U.

a·(1,0,0,1,0) + b·(1,2,2,-1,0) + c·(1,1,1,1,1) ist eine Linearkombination eines Erzeugendensystems von U.

Die Frage ist also, ob die Gleichung

         a·(1,0,0,1,0) + b·(1,2,2,-1,0) + c·(1,1,1,1,1) = (0,0,1,0,0)

lösbar ist. Ob du das jetzt als Matrix·Vektor = Vektor aufschreibst ist wirklich nebensächlich. Übrigens wird in obiger Gleichung der Vektor (0,0,1,0,0) nicht als Lösung bezeichnet, sondern als rechte Seite. Eine Lösung der Gleichung besteht aus einem Wert für a, einem Wert für b und einem Wert für c.

---

Ich hab mir schon gedacht dass das gelten muss aber war mir nicht bewusst wie man das am besten zeigt. Die Gleichung ist nicht lösbar weil sie über bestimmt ist. Wenn c=-2b ist, dann würde für die 3.Gleichung gelten das 0 = 1 ist und das stimmt offensichtlich nicht. Wie kann ich sowas aber am besten Zeigen?

Zum Beispiel kann ich da ja für den Vektor (1,1,1,1,1) der ja als Liniarkombination dargestellt werden soll auch machen. Das funktioniert auch gut. Wie erwartet ist c = 1 und a=b=0. Kann ich aber ich eine Aussage treffen ob es eine Lösung gibt ohne alle 5 Gleichungen auf Richtigkeit zu überprüfen?

---

> Die Gleichung ist nicht lösbar weil sie über bestimmt ist.

Das ist nicht richtig. Es gibt auch überbestimmte Gleichungssysteme, die lösbar sind.

> Wenn c=-2b ist, dann würde für die 3.Gleichung gelten das 0 = 1 ist

Das heißt, dass c ≠ -2b sein muss.

> Wie kann ich sowas aber am besten Zeigen?

Was meinst du mit "sowas"?

---

Ich meinte wie ich am besten zeigen kann das mein Gleichungssystem nicht lösbar ist. Im Beispiel zuvor habe ich gezeigt das es einen Widerspruch gibt, da 0 nicht gleich 1 ist. Kann ich aber nicht anders zeigen das es keine Lösung gibt, ohne explizit zu überprüfen ob sich alle Gleichungen korrekt lösen lassen?

---

Wenn ich noch eine weitere Frage hinzufügen dürfte: Wie kann ich den Abstand von v zum Unterraum U angeben? Fällt dir dazu etwas ein. Das stellt mich nämlich im Moment vor einem Rätsel!

---

> wie ich am besten zeigen kann das mein Gleichungssystem nicht lösbar ist.

Das weiß ich nicht. Wenn es aber lediglich darum geht, zu zeigen, dass dein Gleichungssystem nicht lösbar ist, das kannst du wie folgt:

Subtrahiert man die zweite Gleichung

    0a + 2b + 1c = 0

von der dritten Gleichung

    0a + 2b + 1c = 1

dann bekommt man die Gleichung

    0 = 1.

Diese Gleichung kann nicht erfüllt werden, also ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

---

> Wenn ich noch eine weitere Frage hinzufügen dürfte

Nein, siehe Schreibregeln.

> Wie kann ich den Abstand von v zum Unterraum U angeben?

Berechne den Tiefpunkt der Funktion

    f(x,y,z) = |x·(1,0,0,1,0) + y·(1,2,2,-1,0) + z·(1,1,1,1,1) - (0,0,1,0,0)|

---

5.)Stelle eine Frage nur einmal. Wenn du etwas ergänzen möchtest oder eine Nachfrage hast, so schreibe einen Kommentar unter die Frage. Nach dem Absenden der Frage hast du noch 5 min, um sie zu bearbeiten......Hab eine Nachfrage gestellt und sie als Kommentar unter meine Frage geschrieben. Wo liegt das Problem?

---

Mit Nachfrage ist eine Frage gemeint, die mit der ursprünglichen Frage oder einer Antwort in so engem Zusammenhang steht, dass sie für sich alleine keinen Sinn ergibt.

Die Frage nach dem Abstand kann gut für sich alleine stehen.