Bilden die ganze Zahlen mit der Multiplikation eine kommutative Gruppe

Question

Bilden die ganzen Zahlen mit der üblichen Multiplikation, also (Z,*) eine kommutative Gruppe? Beweisen Sie ihre Aussage.

Comments

Nur 1 und -1 haben bezüglich * ein Inverses in ℤ.

Answer 1

z.B. hat 2 kein Inverses, denn gäbe es ein x mit 2*x = 1

dann müßte gelten   1 = 2*x = (1+1)*x = 1*x + 1*x = x + xalso 1 = x+x   und damit    | - x

        0 = x   


Also wäre der einzige Kandidat für das Inverse von 2 die 0.Aber 2*0 = 0 ≠ 1  . Also ist es auch nicht 0 .

Damit hat 2 kein Inverses, aber in einer Gruppe müsste

jedes El. eines haben. Also keine Gruppe !

Comments

x+x   und damit    | - x

        0 = x   

Wie kommst du darauf

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Pardon, das war Quatsch. 

Da war ich irgendwie durcheinander. Wohl eher so:

x+x=1    kann nicht gelten für x=0, da 0+0=0

Also muss gelten  x<0 oder x>0

x>0 =>  x≥1  und also  x+x ≥ 2 im Widerspruch zu x+x=1.

entsprechend gibt auch x<0 einen Widerspruch.

So macht es wohl Sinn.