Bestimmen Sie den Rang der Matrix E −A und entscheiden Sie mithilfe des Ranges von E −A, ob die Matrix E − A …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Rang der Matrix E −A und entscheiden Sie mithilfe des Ranges von E −A, ob die Matrix E − A invertierbar ist.

Problem/Ansatz:

Also ich habe E-A berechnet und danach habe ich den Gauß angewendet um den Rang zu bestimmen... Der Rang ist in dem Fall 3. Meine Frage wäre jetzt, welche Matrix nehme ich für die Berechnung der Invertierbarkeit? Ist es das Ergebnis von E-A oder die Matrix an der ich den Rang ablese?

Answer 1

Hallo :)

also da steht ja : -entscheiden Sie mithilfe des Ranges von E −A, ob die Matrix E − A invertierbar ist.

Es gibt einen Satz der besagt: A ∈ Mat_nxn genau dann invertierbar, wenn rang(A) = n ist.

Du kannst hier mehr darüber erfahren: https://lp.uni-goettingen.de/get/text/2470

Answer 2

Aloha :)

Der Betrag der Determinante einer $n\times n$-Matrix ist gleich dem $n$-dimensionalen Volumen, das von ihren Spalten- bzw. Zeilenvektoren aufgespannt wrid. Wenn dieses Volumen ungleich 0 ist, wird ein $n$-dimensionaler Raum aufgespannt und die Spalten- bzw. Zeilenvektoren sind linear unabhängig voneinander. Es reicht hier also aus, die Determinante zu prüfen:

$$\operatorname{det}(E-A)=\operatorname{det}\left(\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0\\-2 & 0 & -2\\-3 & 0 & 0 \end{array}\right)\right)=\left|\begin{array}{rrr}1 & -1 & 0\\2 & 1 & 2\\3 & 0 & 1\end{array}\right|$$$$\phantom{\operatorname{det}(E-A)=}=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\2 & 3 & 2\\3 & 3 & 1\end{array}\right|=3\cdot1-3\cdot2=-3\ne0\quad\checkmark$$

Die Determinante ist also ungleich 0 und damit ist die Matrix $(E-A)$ invertierbar. Dass das Vorzeichen der Determinante negativ ist bedeutet, dass die Spalten- bzw. Zeilenvektoren ein Linkssystem und kein Rechtssystem bilden.

Eine invertierbare Matrix hat immer vollen Rang. Daher folgt insbesondere auch, dass der Rang der Matrix $(E-A)$ gleich 3 ist.

Bemerkung: Zur Berechnung der Determinante habe ich die erste Spalte zur zweiten Spalte addiert, um in der ersten Zeile 2 Nullen zu bekommen, sodass sich die Determinante leichter entwickeln lässt.