vollständige Induktion n-te Ableitung

Question

kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein. Wie gehe ich an diese Aufgabe dran? Ich habe jetzt einige Aufgaben zur Induktion nachgerechnet und verstanden aber hier fehlt mir einfach der erste Ansatz. danke.

Sei \( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\frac{x}{e^{x}} \) für alle \( x \in \mathbb{R} . \) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für die \( n \) -te Ableitung

\( f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}(x-n)}{e^{x}} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) und alle \( n \in \mathbb{N} \)
gilt.
 

Answer 1

Erst mal f ' bilden: ausgehend von  f(x) = x*e^-x  gibt das


 f ' (x) =  1*e^-x   +  x*(-1)*e^-x   =    ( 1  - x  ) *e^-x  

= (-1) * ( x-1) *e^-x    =   (-1)¹  * ( x-1)  /  e^x     

Die Formel stimmt also für n=1 d.h. für die 1. Ableitung.

Wenn sie für n stimmt, dann ist

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = ( f⁽ⁿ⁾(x) ) '  =  nach Annahme   (    (-1)ⁿ  * ( x-n)  /  e^x      ) '

=    (    (-1)ⁿ * ( x-n)  *  e^-x      ) '


=      (-1)ⁿ *    (   ( x-n)  *  e^-x      ) '

=       (-1)ⁿ *    (   1 *  e^-x    + (x-n)*(-1)  *  e^-x     )

=       (-1)ⁿ *    (   1   + (x-n)*(-1)     ) * e^-x  

=    (-1)ⁿ *    (   1   - x  +  n) * e^-x  

=      (-1)ⁿ *    (   n+1    - x  ) * e^-x  

=    (-1)ⁿ⁺¹ *    (  x  - ( n+1)  ) * e^-x  

=    (-1)ⁿ⁺¹ *    (  x  - ( n+1)  )  /   e^x  

Und genau das sagt ja die Formel für n+1 aus !   q.e.d.