exakte Koordinaten des Hochpunktes , Krümmungsverhalten , Schnittpunkte mit x-Achse

Question

Ich weiß dass man bei der Aufgabe ableiten muss und denke dass man auch etwas mit dem Logarithmus umformen soll ,um auf die exakten Stellen zu kommen. Ich kann mit der Aufgabe leider  trotzdem nichts anfangen.

Answer 1

a) Geben Sie die exakten Koordinaten des Hochpunktes an.

f(x) = -e^{-0.5·x} - x + 1

f'(x) = 0.5·e^{- 0.5·x} - 1

f''(x) = - 0.25·e^{- 0.5·x}

Hochpunkt f'(x) = 0

0.5·e^{- 0.5·x} - 1 = 0 --> x = -2·LN(2) = -1.386

f(-2·LN(2)) = 2·LN(2) - 1 = 0.3863

f''(-2·LN(2)) < 0 --> HP(-2·LN(2) | 2·LN(2) - 1)

b) Untersuchen sie rechnerisch das Krümmungsverhalten.

Wendepunkt f''(x) = 0

- 0.25·e^{- 0.5·x} < 0 und damit immer rechtsgekrümmt

c) Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse an und Begründen Sie, dass es genau zwei Schnittpunkte sind.

Nullstellen f(x) = 0

-e^{-0.5·x} - x + 1 = 0

Eine Nullstelle sieht man direkt bei x = 0

Eine andere findet man über ein Näherungsverfahren bei x = -2.513

Die Funktion ist stetig und überall rechtsgekrümmt und hatte einen Hochpunkt oberhalb der x-Achse. Daher muß es genau 2 Nullstellen geben.

Comments

Hallo mathecoach,

könnte die Funktion links vom Hochpunkt auch
stets rechtsgekrümmt  sein und keinen 2.Nullpunkt
besitzen ?

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Die Steigung links vom Hochpunkt  wäre
lim x −> -∞ [ h ´( x ) = 0.5 * e^-0.5x - 1 ] = ∞
Damit entfällt eine flacher werdende Kurve.
siehe meine Grafik

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"könnte die Funktion links vom Hochpunkt auch stets rechtsgekrümmt sein und keinen 2.Nullpunkt besitzen ? "

Nein. Das geht nicht. Sowie eine lineare Funktion

y = a*x + b mit a ≠ 0 immer eine Nullstelle besitzen muss. Möge das a auch noch so nahe bei Null liegen.

Answer 2

> ich weiß dass man bei der Aufgabe ableiten muss

Weißt du auch wie die Ableitung lautet?

> und denke dass man auch etwas mit dem Logarithmus umformen soll

Das ist richtig.

> um auf die exakten Stellen zu kommen

Die wirst du nie bekommen. Es gibt nämlich unendlich viele nicht periodische Stellen, weil die Lösung ist irrational. Gemeint ist, dass du bei

    x = -2 ln(2)

aufhören sollst, und nicht zu

    x ≈ -1.37

runden sollst. Selbiges gilt auch für die y-Koordinate.

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Ich danke dir ,dass du meine Gedanken bestätigt/widerlegt hast.

Answer 3

h ( x ) = -e^{-0.5x} - x + 1

h ´( x ) = (-0.5) * -e^{-0.5x} - 1
h ´( x ) = 0.5 * e^{-0.5x} - 1

Extremwert
0.5 * e^{-0.5x} - 1 = 0
0.5 * e^{-0.5x}  = 1
e^{-0.5x} = 2  | ln ( )
ln [ e^{-0.5x} ] = ln ( 2 )
-0.5x * ln [ e ] = ln ( 2 )
-0.5 * x = ln ( 2 )
x = -1.386
h ( -1.386 ) = 0.386
E ( -1.386 | 0.386 )

h ´´ ( x ) = -0.5 * 0.5 * e^{-0.5x}
h ´´ ( x ) = -0.25 * e^{-0.5x}

Wendepunkt
-0.25 * e^{-0.5x}  = 0
Da die e-Funktion stets größer 0 ist
ist das Produkt stets kleiner und nie 0.
Diese Funktion ist stets negativ. Das
entspricht einer Rechtskrümmung.

Damit ist auch die Krümmung für den Extrempunkt
positiv. Der Extrempunkt ist ein Hochpunkt

Nullstellen
h ( x ) = -e^{-0.5x} - x + 1 = 0
Die Gleichung kann kann prinzipiell
nur mit z.B. dem Newtonverfahren gelöst werden.
Ein Fachmann könnte eine Nullstelle bei x = 0
erkennen/ erraten
h ( 0 ) = -e^{-0.5*0} - 0 + 1 = 0
h ( 0 ) = -1 - 0 + 1 = 0

Soviel zunächst

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Schöne ausführliche Rechnung.

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Die Grafik stimmt leider nicht.
Dies ist die richtige