Zeigen Sie, dass (v,Av,...,Ak−1v) linear unabhängig in Kn sind.

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 Hi Leute!

Bei der Aufgabe komme ich irgendwie nicht weiter.


Vielen Dank schonmal im Voraus! :)


Sei K ein Körper und A ∈ M(n×n;K).

Seien weiterhin v ∈ Kn und k ∈ N>0 mit Ak−1v 6= 0 und Akv = 0.

Zeigen Sie, dass (v,Av,...,Ak−1v) linear unabhängig in Kn sind.

Gefragt 8 Jan von Gast bh8122

Ich hab keine Ahnung was Du meinst. Schreib das doch mal so auf, dass man es auch verstehen kann. Was soll z.B. Ak-1v6=0 bedeuten?

Soll vermutlich \(A^{k-1}\cdot v\ne0\) heißen.

1 Antwort

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Hi,
$$  0 = A^{n-1} \sum_{i=1}^n \alpha_i A^{i-1} v = \sum_{i=1}^n \alpha_i A^{n+i-2}v = \alpha_1 A^{n-1} v $$ also \( \alpha_1 = 0 \) usw.

Beantwortet 8 Jan von ullim Experte XX

könntest du mir deinen Lösung erklären,weil ich auch an der Aufgabe häng und sie gerne verstehen würde. Danke im vorraus

Hi,
wenn Deine Vektoren l.u. sein sollen, muss untersucht werden ob aus
$$ (1) \quad \sum_{i=1}^n \alpha_i A^{i-1} v = 0 $$ \( \alpha_i = 0 \text{ für } i=1 \cdots n \ \) folgt.

Dazu multipliziere (1) mit \( A^{n-1} \), dann bekommst Du

$$  (2) \quad 0 = A^{n-1} \sum_{i=1}^n \alpha_i A^{i-1} v = \sum_{i=1}^n \alpha_i A^{n+i-2}v = \alpha_1 A^{n-1}v $$
In der letzten Summe sind alle Terme \( A^{n+i-2}v = 0  \) außer für \( i = 1 \) weil \( n+i-2 \ge n  \) für \( i > 1\) und da \( A^{n-1}v \ne 0 \)gilt, folgt also \( \alpha_1 = 0 \)

Das Gleiche machst Du nun auch für die restlichen Kooeffizienten.

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