Zeigen Sie, dass \mathbf{v}, L(\mathbf{v}), \ldots, L^{n}(\mathbf{v}) linear unabhängig sind.

Question

Aufgabe:

Sei \( L: V \rightarrow V \) eine lineare Abbildung auf einem \( K \)-Vektotrraum \( V \). Sei zusätzlich \( \mathbf{v} \in V \) und \( n \in \mathbb{N} \) mit

\( L^{n}(v) \neq 0 \) und \( L^{n+1}(v)=0 \)

Zeigen Sie, dass \( \mathbf{v}, L(\mathbf{v}), \ldots, L^{n}(\mathbf{v}) \) linear unabhängig sind.

Danke im voraus für eure Hilfe

Answer 1

Am einfachsten per Induktion:

$$n=1: L(v) \neq 0, L^2(v) =0$$ Sei \(0 = a_0v + a_1L(v)\). Zu zeigen ist \(a_0=0,a_1=0\).

Trick: Wende L auf die Gleichung an.

$$0 = a_0L(v) + a_1L^2(v) = a_0L(v) \stackrel{L(v) \neq 0}{\Rightarrow} a_0=0$$

Also \(0 = a_1L(v) \stackrel{L(v) \neq 0}{\Rightarrow} a_1=0\).

Derselbe Trick funktioniert auch im Induktionsschritt. Die Details überlass ich dir.

$$0 = \sum_{k=0}^{n+1}a_kL^k(v) \Rightarrow 0 = \underbrace{\sum_{k=0}^{n}a_kL^{k+1}(v)}_{\text{Induktionshypothese:}a_0=\cdots = a_{n}=0} +\underbrace{a_{n+1}L^{n+2}(v)}_{=0}$$