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z^3=8i

eine Lösung ist ja -2i (wenn man die 3. Wurzel zieht)

aber wie bekomme ich die anderen Lösungen?

ich weiß, dass ich was mit der Formel hier machen muss: z2,3 = e^{π/2*i*Φ},

um die beiden Winkel für die anderen Lösungen zu bekommen.

Oder mit der Formel? z = r * e ^{-i*Φ} ?

Und Phi rechnet man mit Phi = arctan(b/a) aber wie bekomme ich a und b? ich habe zwar den Abstand, was ja 2i ist aber mit Pythagoras komm ich nicht weiter da ich nur 2i habe und nix anderes?

So sollte es ja aussehen bzw. vielleicht muss ich da ja auch so ein halbkreis oder 3/4 kreis einzeichnen...

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mfg

von

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z3=8i 

eine Lösung ist ja -2i (wenn man die 3. Wurzel zieht)

aber wie bekomme ich die anderen Lösungen?

Zusammen mit den andern beiden 3. Wurzeln aus 8i, muss sich ein gleichseitiges Dreieck mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt ergeben. 

Daher musst du zum Argument (Winkel) von der ersten Lösung noch k*(2π)/3 addieren. (k Element Z) 

z1 = -2i hat das Argument phi = 3π/2 und den Betrag r = 2. 

daher z2 mit Argument 3π/ 2 + 2π /3 (Brüche addieren und 2π subtrahieren (man rechnet modulo 2π) 

das Argument von z3 gleich berechnen. Falls wieder mehr als 2π rauskommt, nochmals 2π subtrahieren. 


Oder mit der Formel? z = r * e -i*Φ ?

Diese Formel ist gut! Oben einfach phi1, phi2 und phi3 hinschreiben, dann hast du die 3 Lösungen.

von 153 k

vielen dank das ist eine sehr gute Beschreibung!!!

ganz kurz noch... ich muss also die 3 punkte verbinden und es entsteht ein dreieck oder sollt ich die über ein kreis verbinden?

Du musst die gar nicht verbinden. Es sind nur die Zahlen in den Ecken Lösungen der gegebenen kubischen Gleichung. 

Zur Kontrolle, kannst du Kreis und Dreieck einzeichnen. Beides muss gleichzeitig passen.

+3 Daumen

Alternativ erhältst du die restlichen Lösungen durch \(0=z^3-8i=(z+2i)\cdot(z^2-2iz-4)\) mittels \(pq\)-Formel.

von

stimmt wieso ist das mir nicht eingefallen xD :(

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