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Im Folgenden arbeiten wir über dem Körper F3 = Z/3Z.

(a) Wie viele Lösungen hat das lineare Gleichungssystem mit der folgenden erweiterten Matrix?

1 0 2   I  1              (Alle Zahlen sind mit Strichen oben)

1 2 2   I  2

0 1 0   I  2

Listen Sie alle Lösungen auf.

(b) Im Allgemeinen: Wie viele Lösungen kann ein lineares Gleichungssystem über  F3 mit drei Gleichungen und drei Variablen haben? Begründen Sie.

von

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a) aus der dritten Zeile ergibt sich doch

1*y = 2.

D.h. y = 2

(überall Strich drüber).

Nun kannst du damit in die ersten beiden Gleichungen rein

Übrigens:

1 0 2   I  1        (I)      (Alle Zahlen sind mit Strichen oben)

1 2 2   I  2       (II)

--------------------- (II) -(I)

0 2 0 | 1

widerspricht y=2 nicht, denn

2*2 = 1 (alles mit Strich oben) (modulo 3) , sagt dir aber, dass es mehrere Lösungen geben wird.

Die könnte man jetzt austesten.

x= 0 und z=2

x=1 und z=?

x=2 und z=?


von 153 k

kannst du vlt. noch mit b) helfen?

Bei b) würde ich sagen 3^3 = 27.

Als Beispiel dafür fällt mir aber nur das LGS

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

ein. Da liessen sich dann in den Lösungsvektoren alle x mit allen y und dann noch mit allen z kombinieren. x, y und z gibt es jeweils nur 3 , weil modulo gerechnet wird.

Wie viele Lösungen gibt es denn jetzt bei a)?

Wie komme ich denn nach dem Umformen rechnerisch an die Lösungsmenge ran ?

könntest du mir vielleicht erklären was es sich genau bei dem Modulo auf sich hat in der Matrix ? Was genau muss ich mit dem Modulo beachten? Ich kenne zwar modulo aber in der matrix kann ich grade nur sehr wenig damit anfangen...lg

Ich habe dir oben ein Resultat (x,y,z) = (0,2,2) ausgerechnet.

Jetzt einfach noch machen, was ich vorgeschlagen hatte.

"Die könnte man jetzt austesten.

x= 0 und z=2   Geprüft mit (I) 1*x + 2*z = 1, 1*0 +2*2 = 1 (mod 3)

x=1 und z=?  Hier suchst du z in: 1*1 + 2*z = 1,

x=2 und z=?" Hier suchst du z in: 1*2 + 2*z = 1

Das schaffst du doch. Dann hast du drei Lösungstripel. 

Also wenn ich versuche x,y und z auszurechnen kriege ich für x oder z keine lösung raus....was habe ich falsch gemacht ?

Bild Mathematik

Die zweite Zeile kannst du ignorieren.

Ich habe sie ja zu Beginn durch die blaue Zeile hier ersetzt.

1 0 2   I  1        (I)      (Alle Zahlen sind mit Strichen oben)

1 2 2   I  2       (II)

--------------------- (II) -(I)

0 2 0 | 1    

und oben festgestellt, dass das wieder das gleiche ist wie die 3. Zeile, nämlich y=2. 

Daher nachher nur noch die erste Zeile nötig und für x alle möglichen Werte einsetzen.

In R wäre das der Fall, in dem es unendlich viele Lösungen gibt. Modulo drei sind das nicht so viele und du kannst alle explizit ausrechnen. Vgl. oben. 

Habe es ausgerechnet wären dann die Lösungs mengen (0,2,2) ; (1,2,3) ; (2,2,4) ?

Du hast richtig gerechnet. Rechne noch modulo 3.

Die Lösungsmenge ist L= { (0,2,2) ; (1,2,3) ; (2,2,4) } =  { (0,2,2) ; (1,2,0) ; (2,2,3) } 

Achtung: Du hast EINE Lösungsmenge L, die drei Elemente enthält. Diese Elemente sind Zahlentripel, du kannst sich auch als Vektoren ansehen. 


x= 0 und z=2   Geprüft mit (I) 1*x + 2*z = 1, 1*0 +2*2 = 1 (mod 3) 

x=1 und z=?  Hier suchst du z in: 1*1 + 2*z = 1,  ==> z=0 . 1*1 + 2*0 = 1

x=2 und z=?" Hier suchst du z in: 1*2 + 2*z = 1 ==> z=1 . 1*2 + 2*1 = 1  

"Die Lösungsmenge ist L= { (0,2,2) ; (1,2,3) ; (2,2,4) } =  { (0,2,2) ; (1,2,0) ; (2,2,3) }"

Also ist das die endgültige Lösung ?

Oder suchst du zeilen dadrunter noch nach mehr Lösungsmengen ?

Und wie bist du jetzt hinter der Lösung nach dem gleich gekommen in der Lösungsmenge L ?

Wenn du modulo drei rechnen musst, schreibst du ja Überall Querstriche drüber. Und da ist 3 dasselbe wie 0, bzw. 4 dasselbe wie 1.

Gleichungssysteme haben EINE Lösungsmenge und die besteht aus bei einer 3x3-Matrix aus Vektoren mit 3 Komponenten.

a) ist somit erledigt.

Vielen Dank, hast mir ziemlich weitergeholfen :)

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Gefragt 20 Feb 2017 von Gast

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