Funktionsgleichung 3.Grades durch Extremstellen Tiefpunkt TP(0/-2); Hochpunkt HP(3/4)?

Question

folgende Frage:

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades:

a) Tiefpunkt TP(0/-2); Hochpunkt HP(3/4)

b) Sattelpunkt SP(-1/2) ; Y-Achsenabschnitt=5

Ich habe keine Ahnung wie ich bei einer solchen Aufgabe vorgehen muss. Ich habe bisher schon Aufgaben mit Extremstellen und Ableitungen gelöst. Aber nicht dadurch,dass Extremstellen gegeben waren und nicht die Funktionsgleichung.

Answer 1

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der
ganzrationalen Funktion 3. Grades:

a) Tiefpunkt TP(0/-2); Hochpunkt HP(3/4)

b) Sattelpunkt SP(-1/2) ; Y-Achsenabschnitt=5

Die Aussagen in der Kurzschreibweise

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´ ( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b 

f ( 0 ) = -2
f ´( 0 ) = 0
f ( 3 ) = 4
f ´( 3 ) = 0
f ( -1 ) = 2
f ´ ( -1 ) = 0
f ´´ ( -1 ) = 0
d = 5

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + 5
f ( 0 ) = a * 0^3 + b * 0^2 + c * 0 + 5 = 5

Dies stimmt mit der Aussage
f ( 0 ) = -2
nicht überein.

Alles richtig angegeben ?
Bitte überprüfen.
Sonst stell´ den Originaltext als Foto einmal ein.

Comments

Die Angaben sollten soweit richtig sein. Aber vielen Dank so far!!!

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Das sind wohl zwei voneinander unabhängige Teilaufgaben a) und b) .

Also einfach nur die Gleichungen zu a) bzw. nur die Gleichungen zu b) betrachten, um die Koeffizienten zu berechnen.

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a.)

Aussagen

f ( x ) = a * x³ + b * x² + c * x + d
f ´ ( x ) = 3 * a * x² + 2 * b * x + c

f ( 0 ) = -2
f ´( 0 ) = 0
f ( 3 ) = 4
f ´( 3 ) = 0

Einsetzen
f ( x ) = a * x³ + b * x² + c * x + d
f ( 0 ) = -2
f ( 0 ) = a * 0³ + b * 0² + c * 0 + d  = -2

f ´ ( x ) = 3 * a * x² + 2 * b * x + c
f ´( 0 ) = 0
f ´ ( 0 ) = 3 * a * 0² + 2 * b * 0 + c  = 0

f ( 3 ) = a * 3³ + b * 3² + c * 3 + d  = 4
f ´ ( 3 ) = 3 * a * 3² + 2 * b * 3 + c  = 0

a * 0³ + b * 0² + c * 0 + d  = -2
3 * a * 0² + 2 * b * 0 + c  = 0
a * 3³ + b * 3² + c * 3 + d  = 4
3 * a * 3² + 2 * b * 3 + c  = 0

4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Das Gleichungssystem nun lösen.

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Gern geschehen.

Jetzt kannst du wieder etwas mehr.

Answer 2

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades:

a) Tiefpunkt  \(TP(0|-2)\) Hochpunkt \(HP(3|4)\)

Ich verschiebe den Graphen um 2 Einheiten nach oben:

Tiefpunkt \(TP´(0|0)\) Hochpunkt \(HP´(3|6)\)

\(f(x)=a*x^2*(x-N)\)

\(HP(3|6)\):

\(f(3)=a*3^2*(3-N)=9a*(3-N)\)→ \(9a*(3-N)=6\) → \(3a*(3-N)=2\)→ \(a=\frac{2}{9-3N}\)

\(HP(3|....)\):

\(f´(x)=\frac{2}{9-3N}*[2x*(x-N)+x^2]\)

\(f´(3)=\frac{2}{9-3N}*[2*3*(3-N)+3^2]=0\)  → \(N=4,5\)      \(a=\frac{2}{9-3*4,5}=-\frac{4}{9}\)

\(f(x)=-\frac{4}{9}*x^2*(x-4,5)\)

Nun um 2 Einheiten nach unten:

\(p(x)=-\frac{4}{9}*x^2*(x-4,5)-2\)

b) Sattelpunkt SP(-1|2) ; y-Achsenabschnitt=5  → \(P(0|5\)

Ich verschiebe den Graphen um 2 Einheiten nach unten:

\(SP´(-1|0)\) gibt eine dreifache Nullstelle:

\(f(x)=a*(x-(-1))^3=a*(x+1)^3\)

\(P´(0|3\)

\(f(0)=a*(0+1)^3=a=3\)

\(f(x)=3*(x+1)^3\)

Nun um 2 Einheiten nach oben:

\(p(x)=3*(x+1)^3+2\)