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folgende Aufgabe:
$$ Partialbruchzerlegung\quad von\quad \int { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-4 } } $$
Das habe ich bis jetzt gemacht:
$$ \int { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-4 } } =\quad [Nennerpotenz>Zählerpotenz(Keine\quad Polynomdivision\quad nötig)]\quad =\frac { 1 }{ (x+2)(x-2) } =\frac { A }{ (x+2) } +\frac { B }{ (x-2) } =\frac { Ax+2A+Bx-2B }{ { (x }^{ 2 }-4) } =\frac { x(A+B)+2A-2B }{ { (x }^{ 2 }-4) } $$
Wie geht es jetzt weiter?
Wie immer ,
euer Zeurex
Hallo zeurex,
wenn du \(\frac{A}{x+2}\) + \(\frac{B}{x-2}\) auf einen Nenner bringst, erhältst du \(\frac{Ax-2A+Bx+2B}{x^2-4}\)
= \(\frac{(A+B)·x + (2B-2A)}{x^2-4}\) = \(\frac{1}{x^2-4}\)
Koeffizientenvergleich bei den x-Potenzen im Zähler:
A+B = 0 und 2B - 2A = 1
B = - A → - 2A - 2A = 1 → A = -1/4 und B = 1/4
Dieser Online-Rechner gibt für Partialbruchzerlegungen auch den Rechenweg an.
Gruß Wolfgang
Hallo Wolfgang,
danke für deine Antwort.
Wieso ist A+B = 0 und 2B-2A = 1 ?
Gruß,
Zeurex
Koeffizientenvergleich in den Zählern:
(A+B) * x + 2B - 2A = 1 = 0 * x + 1
x*(A+B) = 0 weil ich x=0 setze. okay
Und 2B-2A = 1 weil der Zähler vom Ursprungsbruch = 1 ist?
> x*(A+B) = 0 weil ich x=0 setze.
Nein, sondern weil im Zähler des Ursprungsbruchs ( = 0*x+1) der Faktor bei x Null ist
> Und 2B-2A = 1 weil der Zähler vom Ursprungsbruch = 1 ist
Genauer:
weil im Zähler des Ursprungsbruchs der konstante Summand = 1 ist
(Letzterer ist hier zufällig der ganze Zähler)
Genau so ist es :-)
( Du meinst natürlich einen echt gebrochenen rationalen Term )
Alles klar, ich danke dir vielmals! :)
Ansatz:
1/((x-2)(x+2)= A/(x-2) +B/(x+2) | * ((x-2)(x+2)
1= A(x+2) +(B(x-2)
1= Ax +2A +Bx -2B
1=x(A+B) +2A -2B
x^1 : 0=A+B
x^0: 1=2A -2B
------->
1=4A ->A=1/4
B=-1/4
@zeurex.
wenn man wie du A/(x+2) + B/(x-2) [ und nicht A/(x-2) +B/(x+2) wie GL ] ansetzt,
erhält man meine Lösungen ( A und B vertauscht )
Ein anderes Problem?
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