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Eine gerade Straße verlaufe durch die Punkte A(-2/-1) und B(0/0). Ein weiteres gerades Straßenstück beginne im Punkt C(5/2,5)) und verlaufe weiter durch D(7/0,5)). Die Lücke zwischen B und C soll durch eine nahtlose Verbindung geschlossen werden, d.h. das Verbindungsstück münde jeweils tangential in die beiden Anschlusspunkte, welche auch gleichzeitig Wendepunkte der gesuchten Funktion sind, man sagt „ohne Krümmungsruck“, also gleiche Krümmung. Diese Verbindung soll die Form einer ganzrationalen Funktion 5. Grades haben. Stellen Sie aus diesen Bedingungen das lineare Gleichungssystem auf.

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Eine gerade Straße verlaufe durch die Punkte A(-2/-1) und B(0/0). Ein weiteres gerades Straßenstück beginne im Punkt C(5/2,5)) und verlaufe weiter durch D(7/0,5)). Die Lücke zwischen B und C soll durch eine nahtlose Verbindung geschlossen werden, d.h. das Verbindungsstück münde jeweils tangential in die beiden Anschlusspunkte, welche auch gleichzeitig Wendepunkte der gesuchten Funktion sind, man sagt „ohne Krümmungsruck“, also gleiche Krümmung. Diese Verbindung soll die Form einer ganzrationalen Funktion 5. Grades haben. Stellen Sie aus diesen Bedingungen das lineare Gleichungssystem auf.

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Eine ganzrationale Funktion 5. Grades sieht so aus

$$f(x)=a_5 x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$$

Das sind 6 Unbekannte \(a_0\) bis \(a_5\). Die ersten beiden Ableitungen sind

$$f \prime(x)=5a_5 x^4 + 4a_4x^3 + 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1$$

$$f \prime \prime(x)=20a_5 x^3 + 12a_4x^2 + 6a_3x + 2a_2$$

Es sind zwei Wendepunkte der Funktion - in \(B\) und \(C\) - gegeben. Dort ist jeweils der Funktionswert, die Steigung über die Steigung der Geraden gegeben und aus der Tatsache, dass dort ein Wendepunkt ist, folgt dass die 2.Ableitung an diesen Stellen =0 sein muss. Das macht 6 Bedingungen für 6 Unbekannte. Als LSG geschrieben

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 5^5 & 5^4 & 5^3 & 5^2 & 5 & 1\\ 5\cdot 5^4 & 4\cdot 5^3 & 3\cdot 5^2 & 2 \cdot 5 & 1 & 0\\ 20 \cdot 5^3 & 12\cdot 5^2 & 6 \cdot 5 & 2 & 0 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_5\\ a_4 \\ a_3\\ a_2\\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ +0,5 \\ 0\\ 2,5\\ -1 \\  0 \end{pmatrix}$$

die ersten drei Zeilen beschreiben die Bedingungen am Punkt \(B\) \(x=0\)und die weiteren die am Punkt \(C\) \(x=5\). Jeweils in der Reihenfolge \(f(x)\), \(f\prime(x)\) und \(f\prime \prime (x)\).

Gruß Werner

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wie kommt man auf die matrix? 0, 0, 0,0 0, 0, 1? also ich verstehe schon, dass man in die f(x) x = 0 einträgt. die ersten 3 sind von den f(x), f'(x) und f''(x).  u.s.w.

Ich frage mich halt, müsste man das nicht über einen Graphen lösen und darauf eine Trassierung anwenden? Wir wollen doch B und C miteinander verbinden. (Blauer Strich) Muss ich nicht anhand der Koordinaten die y = mx + c die funktionen einer linearen Gleichung herausfinden und dann die zweite Ableitung der Funktion die Koordinaten von B und C anwenden? Um quasi den Krümmungsruck zu bekommen? Wie in der Aufgabe gegeben ist.Bild Mathematik

Du fragst: "wie kommt man auf die Matrix?" - Ja - indem man die bekannten Größen in eine der drei Gleichungen \(f(x)\), \(f\prime(x)\) oder \(f\prime \prime (x)\) einsetzt. Die drei letzten Gleichungen folgen aus den Informationen am Punkt \(C\). Dort ist der Funktionswert \(f(5)=2,5\), die Steigung \(f \prime(5)=-1 \) und die zweite Ableitung \(f\prime \prime(5)=0\) bekannt. Die Steigung soll identisch der Steigung der Geraden durch \(C\) und \(D\) sein - daher die -1. \(f\prime \prime\) muss dort 0 sein, da es sich um einen Wendepunkt handelt.

Beispiel: wenn \(f\prime \prime(5)=0\) ist, dann kann man in die Gleichung \(f\prime \prime=20x^3+12x^2+6x+2\) für das \(x\) die 5 einsetzen und das Ergebnis muss =0 sein. Genau das steht in der letzten Zeile des LGS (s.o.).

Du fragst: ".. müsste man das nicht über einen Graphen lösen?" Ich könnte mir vorstellen, dass es eine derartige Möglichkeit gibt. Aber das ist bestimmt nicht einfacher als die LGS zu lösen.

Gruß Werner

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Es gibt zwei Anschluss-Punkte und zwei Steigungen in diesen Punkten.

In jedem der Anschlusspunkte liegt ein Wendepunkt.

Macht zusammen 6 Bedingungen - kannst Du die mal formulieren ?

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ine gerade Straße verlaufe durch die Punkte
A ( -2 | -1) und
B ( 0 | 0 ).

m = ( -1 - 0 ) / ( -2 - 0 ) = 0.5

Ein weiteres gerades Straßenstück beginne
im Punkt
C ( 5 | 2,5 ) und verlaufe weiter durch
D ( 7 | 0.5 )
m = ( 2.5 - 0.5 ) / ( 5 - 7 ) = -1

f ( x ) = a * x^5 + b * x^4  + c * x^3 + d * x^2 + e * x + g
f ´( x ) = ?
f ´´ ( x ) = ?

Aus B
f ( 0 ) = 0
f ´( 0 ) = 0.5  ( Steigung )
f ´´ ( 0 ) = 0 ( Krümmung )

Aus C
f ( 5 ) = 2.5
f ´( 5 ) = -1  ( Steigung )
f ´´ ( 5 ) = 0 ( Krümmung )

Jetzt die Werte in die Gleichungen einsetzen
ergibt ein lineares Gleichungssystem.

Kannst du das ?
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f(x) = 0,0072·x^5 - 0,084·x^4 + 0,24·x^3 + 0,5·x

ahh ok! verstehe. das habe ich auch soweit hinbekommen und es so auch eingetragen

f ' (x) = 5a*x4 + 4b*x3 + 3c*x2 + 2d*x + e

f '' (x) = 20a*x3 + 12b*x2 + 6c*x1 + 2d

abcdeg
000001   0
000010  0,5
000200   0
31256251252551   2,5
3125500751010     -1
250030030200     0
 in der Aufgabe ist gegeben, falls man dies mit dem Gauß-Algo lösen kann, dann solle man sie lösen. Ich frage mich dennoch, wie man aufBf ( 0 ) = 0 

und

C

f ( 5 ) = 2.5 

kommt? die anderen beiden habe ich ja die steigung ausgerechnet und übernehme diese. sprich x = 0 bei b und x=5 bei c.

Und wieso ist bei der Krümmung auch


f ´´ ( 5 ) = 0 ( Krümmung ) ?? 0??
Danke für die Hilfe!

ah ok! habs jetzt. das sind die von den punkten

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