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Ich brauche nur bei c) Hilfe.

Bild Mathematik

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Das ist echt eine schöne Aufgabe.

:)                                       

wie funktioniert die b)?

2 Antworten

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Beste Antwort

Das ist ja dann bei c) eine optimierungsaufgabe.

Wir brauchen das volumen der Aussparung. Es ist pi*r^2*b. Hierbei ist r^2=(f(x))^2 und b ist (5-x).

Also haben wir V=f (x)^2*pi*(5-x). Jetzt brauchen wir noch f (x), also die geradengleichung. Diese ist

f (x)=x-1     damit ergibt sich

V (x)=pi*(x-1)^2*(x-5)

   = pi*(x^2-2x+1)*(5-x)

    =pi*(5*x^2-10x+5-x^3+2x^2-x)

    =pi*(-x^3+7x^2-11x+5)

Das leiten wir jetzt ab und setzen es null.

V'(x)=-3x^2+14x-11=0

x^2-14/3x+11/3=0

x12=7/3±√(49/9-33/9)

x1=7/3+4/3=11/3

x2=7/3-4/3=3/3=1

Da die Lösung 1 keinen Sinn macht,  ist die gesuchte Lösung x=11/3. Damit ist das Volumen

V=pi*(11/3-1)^2*(5-11/3)=29,79

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Ich habe folgende Fragen:

1.) Kann man dieses b --> pi*r2*b auch h nennen?

2.) Wie kommt man auf folgende Gleichungen?: 5-x und x-1

Ja klar kannst du das auch h nennen.

x-1 ist die grüne geradengleichung. Die könntest du dir basteln mit der zwei Punkte Form,  falls du sie nicht ablesen kannst.

5-x ist die "Tiefe" der Aussparung. Das ist der Abstand zwischen dem x und den Boden des Kerzenhalters.

Leider ist mir das immer noch nicht ganz klar...

\(5-x\) ist der Tiefe der Aussparung in Abhängigkeit der Koordinate \(x\), die die Position des Endes der Aussparung angibt. In dem Bild in meiner Antwort ist \(x \approx 3,3\text{cm}\). Die Größe \(5-x\) habe ich in meiner Lösung mit \(h\) benannt.

\(x-1\) ist der Radius der Aussparung. In meiner Antwort war das \(d/2\).

Gruß Werner

Nun zur Frage:

Bei dieser Antwort wird doch die Größe des Druchmessers gar nicht deutlich oder?

Du bist gut - wählst koffi123s Antwort als beste und hast sie anscheinend nicht verstanden.

Der Radius (halber Durchmesser) steht in der letzten Zeile in der Gleichung für das Volumen -> \(11/3-1\)!

Die Berechnung wäre auch mit Hilfe der Antwort trivial. Ich hatte schon erwähnt, dass \(x-1=\frac{d}{2}\) ist. Dann ist \(d=2(x-1)\) mit \(x=11/3\) (s.o. in der Antwort) wird

$$d=2(\frac{11}{3}-1)=2\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$$

Gruß Werner

Vielen Dank für die Hilfe.                   

Mir ist aber leider noch unklar wie man auf folgende Gleichungen kommt x-1 und 5-x.

Kann man das ablesen?

Wenn man geübt ist kann man das ablesen. Wenn du dir unsicher bist empfehle ich dir, an der grünen Kurve 2 Punkte abzulesen und diese in die 2 Punkt Form einzusetzen. Die bringt dich dann direkt zu der geraden Gleichung.

und wie funktioniert bei dieser Aufgabe die b)?

und wie funktioniert bei dieser Aufgabe die b)?

wenn man sich ein vernünftige Zeichnung macht ...


... sollte das eigentlich kein Problem sein . Allen Anschein nach verläuft der obere Teil der grünen Begrenzung durch die Punkt \((1|\,0)\) und \((5|\,4)\) - folglich entlang des Graphen der Funktion$$b(x) = x-1$$der wird von \(y=4/2=2\) geschnitten bei$$2 = x_S-1 \implies x_S=3$$Damit hat der rot markierte Zylinder eine Höhe von \(h=(5-3)\text{cm}=2\text{cm}\) und mit \(r=2\text{cm}\) ein Volumen \(V_z\) von$$V_z = \pi r^2h = \pi (2\,\text{cm})^2\cdot 2\,\text{cm} = 8\pi \,\text{cm}^3\approx 25,1\,\text{cm}^3$$was eingespart wird.

+2 Daumen

Das zu maximierende Volumen ist $$V=h\left(\frac{d}{2}\right)^2 \pi$$

Bild Mathematik

die Nebenbedingung lautet

$$h=5-x\left( \frac{d}{2} \right)=5-\left( \frac{d}{2}+1 \right)=4- \frac{d}{2} \quad \Rightarrow h +\frac{d}{2} -4 = 0 $$

Daraus folgt die Lagrange-Funktion

$$L(d,h,\lambda)= h\left(\frac{d}{2}\right)^2 \pi + \lambda \left( h +\frac{d}{2} -4 \right)$$

mit ihren Ableitungen

$$\frac{\delta L}{ \delta d}= h\frac{d}{2} \pi + \frac{1}{2} \lambda = 0$$

$$\frac{\delta L}{ \delta h}=\left(\frac{d}{2}\right)^2 \pi + \lambda = 0$$

aus der zweiten Gleichung folgt \(\lambda=-\left(\frac{d}{2}\right)^2 \pi\). Einsetzen in die erste

$$h\frac{d}{2} \pi - \frac{1}{2}\left(\frac{d}{2}\right)^2 \pi = 0$$

$$4h - d = 0 \quad \Rightarrow h=\frac{d}{4}$$

Einsetzen in die Nebenbedingung

$$\frac{d}{4} +\frac{d}{2} -4 = 0$$

$$\Rightarrow d=\frac{16}{3} \text{cm}$$

$$V=\frac{4 \text{cm}}{3}\left(\frac{16 \text{cm}}{6}\right)^2 \pi \approx 29,79 \text{cm}^3$$

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Ich hab was anderes raus.

Deines ist korrekt, hatte mich verrechnet. Ich habe das aber korrigiert.

                          

Weißt Du vielleicht wie man auf 5-x und x-1 kommt?

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