Analysis Funktion f (x) Profilkurve des Kerzenständers nur c) Aussparung

Question

Ich brauche nur bei c) Hilfe.

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Das ist echt eine schöne Aufgabe.

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:)                                       

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wie funktioniert die b)?

Answer 1

Das ist ja dann bei c) eine optimierungsaufgabe.

Wir brauchen das volumen der Aussparung. Es ist pi*r²*b. Hierbei ist r²=(f(x))² und b ist (5-x).

Also haben wir V=f (x)²*pi*(5-x). Jetzt brauchen wir noch f (x), also die geradengleichung. Diese ist

f (x)=x-1     damit ergibt sich

V (x)=pi*(x-1)²*(x-5)

   = pi*(x²-2x+1)*(5-x)

    =pi*(5*x²-10x+5-x³+2x²-x)

    =pi*(-x³+7x²-11x+5)

Das leiten wir jetzt ab und setzen es null.

V'(x)=-3x²+14x-11=0

x²-14/3x+11/3=0

x12=7/3±√(49/9-33/9)

x1=7/3+4/3=11/3

x2=7/3-4/3=3/3=1

Da die Lösung 1 keinen Sinn macht,  ist die gesuchte Lösung x=11/3. Damit ist das Volumen

V=pi*(11/3-1)²*(5-11/3)=29,79

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Ich habe folgende Fragen:

1.) Kann man dieses b --> pi*r²*b auch h nennen?

2.) Wie kommt man auf folgende Gleichungen?: 5-x und x-1

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Ja klar kannst du das auch h nennen.

x-1 ist die grüne geradengleichung. Die könntest du dir basteln mit der zwei Punkte Form,  falls du sie nicht ablesen kannst.

5-x ist die "Tiefe" der Aussparung. Das ist der Abstand zwischen dem x und den Boden des Kerzenhalters.

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Leider ist mir das immer noch nicht ganz klar...

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$5-x$ ist der Tiefe der Aussparung in Abhängigkeit der Koordinate $x$, die die Position des Endes der Aussparung angibt. In dem Bild in meiner Antwort ist $x \approx 3,3\text{cm}$. Die Größe $5-x$ habe ich in meiner Lösung mit $h$ benannt.

$x-1$ ist der Radius der Aussparung. In meiner Antwort war das $d/2$.

Gruß Werner

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Nun zur Frage:

Bei dieser Antwort wird doch die Größe des Druchmessers gar nicht deutlich oder?

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Du bist gut - wählst koffi123s Antwort als beste und hast sie anscheinend nicht verstanden.

Der Radius (halber Durchmesser) steht in der letzten Zeile in der Gleichung für das Volumen -> $11/3-1$!

Die Berechnung wäre auch mit Hilfe der Antwort trivial. Ich hatte schon erwähnt, dass $x-1=\frac{d}{2}$ ist. Dann ist $d=2(x-1)$ mit $x=11/3$ (s.o. in der Antwort) wird

$$d=2(\frac{11}{3}-1)=2\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$$

Gruß Werner

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Vielen Dank für die Hilfe.                   

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Mir ist aber leider noch unklar wie man auf folgende Gleichungen kommt x-1 und 5-x.

Kann man das ablesen?

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Wenn man geübt ist kann man das ablesen. Wenn du dir unsicher bist empfehle ich dir, an der grünen Kurve 2 Punkte abzulesen und diese in die 2 Punkt Form einzusetzen. Die bringt dich dann direkt zu der geraden Gleichung.

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und wie funktioniert bei dieser Aufgabe die b)?

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und wie funktioniert bei dieser Aufgabe die b)?

wenn man sich ein vernünftige Zeichnung macht ...

... sollte das eigentlich kein Problem sein . Allen Anschein nach verläuft der obere Teil der grünen Begrenzung durch die Punkt $(1|\,0)$ und $(5|\,4)$ - folglich entlang des Graphen der Funktion$$b(x) = x-1$$der wird von $y=4/2=2$ geschnitten bei$$2 = x_S-1 \implies x_S=3$$Damit hat der rot markierte Zylinder eine Höhe von $h=(5-3)\text{cm}=2\text{cm}$ und mit $r=2\text{cm}$ ein Volumen $V_z$ von$$V_z = \pi r^2h = \pi (2\,\text{cm})^2\cdot 2\,\text{cm} = 8\pi \,\text{cm}^3\approx 25,1\,\text{cm}^3$$was eingespart wird.

Answer 2

Das zu maximierende Volumen ist $$V=h\left(\frac{d}{2}\right)^2 \pi$$

die Nebenbedingung lautet

$$h=5-x\left( \frac{d}{2} \right)=5-\left( \frac{d}{2}+1 \right)=4- \frac{d}{2} \quad \Rightarrow h +\frac{d}{2} -4 = 0$$

Daraus folgt die Lagrange-Funktion

$$L(d,h,\lambda)= h\left(\frac{d}{2}\right)^2 \pi + \lambda \left( h +\frac{d}{2} -4 \right)$$

mit ihren Ableitungen

$$\frac{\delta L}{ \delta d}= h\frac{d}{2} \pi + \frac{1}{2} \lambda = 0$$

$$\frac{\delta L}{ \delta h}=\left(\frac{d}{2}\right)^2 \pi + \lambda = 0$$

aus der zweiten Gleichung folgt $\lambda=-\left(\frac{d}{2}\right)^2 \pi$. Einsetzen in die erste

$$h\frac{d}{2} \pi - \frac{1}{2}\left(\frac{d}{2}\right)^2 \pi = 0$$

$$4h - d = 0 \quad \Rightarrow h=\frac{d}{4}$$

Einsetzen in die Nebenbedingung

$$\frac{d}{4} +\frac{d}{2} -4 = 0$$

$$\Rightarrow d=\frac{16}{3} \text{cm}$$

$$V=\frac{4 \text{cm}}{3}\left(\frac{16 \text{cm}}{6}\right)^2 \pi \approx 29,79 \text{cm}^3$$

Gruß Werner

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Ich hab was anderes raus.

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Deines ist korrekt, hatte mich verrechnet. Ich habe das aber korrigiert.

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Weißt Du vielleicht wie man auf 5-x und x-1 kommt?