Question

"Zeigen Sie: Jede beliebige, nicht-leere Menge M ist gleichmächtig zu einer Teilmenge ihrer Potenzmenge ℘( M ) ."

Grundsätzlich ist die Menge M auch eine Teilmenge ihrer Potenzmenge und somit gibt's eine Teilmenge (die Menge selber) der Potenzmenge, die gleichmächtig zu der Menge M ist.

Jedoch weiß ich nicht genau, wie man das formal aufschreibt. Meine Idee wäre die folgende:

{T ⊆ M: ITI = IMI} = ℘_IMI(M)

℘_IMI (M) bedeutet ja, dass nur die Teilmengen der Potenzmenge der Menge M abgebildet werden, die die Mächtigkeit IMI besitzen, oder? Oder ist das an der Frage vorbei gedacht/falsch aufgeschrieben? Falls ja: wie schreibe ich (formal), dass die Menge M auch eine Teilmenge ihrer Potenzmenge ist und demnach auch eine Teilmenge der Potenzmenge dieselbe Mächtigkeit hat?

Vorab vielen Dank!

Answer 1

Grundsätzlich ist die Menge M auch eine Teilmenge ihrer Potenzmenge und somit gibt's eine Teilmenge (die Menge selber) der Potenzmenge, die gleichmächtig zu der Menge M ist.

Darum geht es nicht, sondern um eine Teilmenge der Potenzmenge.

Wenn du nur die Menge selber nimmst, hast du eine 1-elementige Teilmenge der

Potenzmenge ausgewählt. 

Aber, wenn du alle einelementigen Teilmengen von M nimmst, dann hast du eine

Teilmenge N = { X ∈ ℘_IMI(M) |  |X| = 1  }   von  ℘_IMI(M) ausgewählt.

vielleicht schreibt ihr statt |X|  auch #X  ? 

Um die Gleichmächtigkeit zu zeigen,  brauchst du nun eine Bijektion

von M   auf N , das wäre etwa

f :  M ---->    N 

     f(x) =  { x } .

Answer 2

Zu der Menge {a₁, a₂, a₃, ..., a_n} ist {{a₁}, {a₂}, {a₃}, ..., {a_n}} Teilmenge der Potenzmenge.