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Weitere affine aufgaben. H29.

RECHENWEG bitte mit lösung.

Bild Mathematik

Vielen dank

Immai

von 2,1 k

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Beste Antwort
Nach deinem Hilferuf schau ich mal was ich auf die schnelle machen kann :
a) Matrix mal Eigenvektor = Eigenwert mal EigenvektorEinsetzen und auflösen.  Eigenwerte gibt's bei a und c aus der diagonalen.  
b) Bei a und c kannst du das Polynom aus den Eigenwerten direkt aufstellen : Du nimmst einfach das Produkt aus : (Lambda-Eigenwert)  und das für alle Eigenwerte.  
Jetzt wirds zeitlich ein bisschen knapp, bin nämlich noch unterwegs.  Es gibt gefühlt unendlich viele Anleitungen zur eigenwert bzw. eigenvektor Berechnung.  Schau dir mal ein paar Beispiele an.  Ich schau dann sobald ich wieder da bin noch mal drüber.
von 8,8 k

ich werde das ganze mal so versuchen wie du es geschreiben hast.


bei den anderen brauche ich auch hilfe^^


Vielen Dank für deine Hilfe

immai

Komme hier nicht weiter, kannst du mir weiter helfen? Bin mir nicBild Mathematikht sicher ob es richtig ist.

https://www.matheretter.de/wiki/eigenvektoren-eigenwerte

Da gibts auch relativ viel Erklärung zu.

sind also meine eigenvektore falsch?

kannst du mir danach bitte mit der aufgabe weiter helfen?


ich schau es nochmal an wie es ging.

sind die eigenwerte bei A

L1= 3    L2= 3  L3=3  L4=i

?

Ja die eigenwerte hab ich sogar berechnet.

Wieso eigentlich?

Bild Mathematik

Du hast jetzt die linke Seite ausgerechnet:
Also
A*v

jetzt noch überprüfen ob dies =λ*v  ist.

λ ist wie bereits du bekannt hast auf der Diagonalen.


EW bei b): Stichwort Laplace-Entwicklungssatz.

ist der eigenvektor beim ersten

v=(1,0,0,0)^{T}

meinst du das mit 6+4i? gleich der lamdas setzen?


was ist EW?

Laplace Entwicklungssatz weiss nicht wie der geht.^^


und könntestd du bitte mit den anderen aufgaben danach weiter helfen?

muss bis morgen die fertig bekommen.

aber ruhig mit deiner hilfe so, das wichtigste ist das ich es verstehe und vielen vielen dank^^

immai

Ist das so gemeint?


Bild Mathematik

Bild Mathematik Auf der rechten seite kommt aber nur eine zahl?

hab mir nochmal ein video angesehen

Laplace-Entwicklungssatz

kann die afg trotzdem nicht leider ;(

Nach laplace entwicklungssatz

Bild Mathematik

Für alle Eigenvektoren(kurz EV) v und dazugehörigen Eigenwerte( kurz EW) λ gilt:

A*v =λ*v


Soll der gegebene Vektor also ein EV sein, dass muss die obige Gleichung für einen der Eigenwerte erfüllt sein.

Für alle Eigenvektoren(kurz EV) v und dazugehörigen Eigenwerte( kurz EW) λ gilt:

A*v =λ*v


ja da hatte ich doch raus 6+4i        = 18-3i

                                     11-2i

                                      12-3i

                                       0


Soll der gegebene Vektor also ein EV sein, dass muss die obige Gleichung für einen der Eigenwerte erfüllt sein.


warum ist dann dann jetzt erfüllt?


das selbse muss ich dann für A2 und A3 machen?

(das schicke ich dann gleich hinterher, sobald ich es jtzt fertig habe.)


kannst du auch bei der b helfen da hänge ich grad fest.

muss hier nach noch

https://www.mathelounge.de/417859/affine-abbildung-aufgabe-1-bitte-h28

und

https://www.mathelounge.de/417891/geometrische-algebraische-vielfachheit-charakteristische


bis morgen fertig bekommen.

Kannst du mir bitte da helfen?

bin echt in not^^

vielen Dank

Zu jedem Eigenvektor gibt es einen dazugehörigen Eigenwert. Du hast aber direkt alle Eigenwerte genommen.

Überprüfe ob gilt:

A*v =λ*v

für λ = 3

oder für

λ = i



Den Laplace-Entwicklungssatz musst du natürlich auf die Matrix verwenden,die du für das Charakteristische Polynom braucht. Bei dir fehlt da der Teil mit λ auf der Diagonolen.

ich bin echt durcheinander gekommen.


können wir zuerst kurz nur die a nochmal durch gehen?


also meine eigenwerte für alls A1 bis A3 sind

die lambdas immer gleich.

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm

habe alle hier eingegeben


wie gesagt kurz nur a machen und dann erst zu b rüber^^


Nachtrag:

6+4i

 11-2i

  12-3i

   0

war das mein ersten eigenvektor? und war er richtig?

Ist dann A3 richtig?

Bild Mathematik

Ich war auch eigentlich noch bei a. Du bist etwas wirr von der einen zu nächsten Aufgabe gesprungen.

Wir sollen prüfen ob (1,1,4-i,0) Eigenvektor einer der Matrizen ist.

Wir starten bei der ersten. Matrix:
Wir wissen:

A*v =λ*v

Bei Dreiecksmatrizen können wir die Eigenwerte aus der Diagonalen ablesen:

λ = 3

und λ= i

Jetzt setzen wir ein:

A * (1,1,4-i,0) =? 3 * (1,1,4-i,0)

Ich gehe mal von aus dass deine Rechnung oben richtig ist:

(6+4i, 11-2i,12-3i,0) ist offensichtlich ungleich 3 * (1,1,4-i,0) = (3,3,12-3i ,0)

Analog dazu machen wir das für λ= i.

Wir sehen: v erfüllt die Gleichung für keine der Eigenwerte => kein Eigenvektor.


Gehen wir zu der zweiten Matrix

Hier fehlen uns zunächst die Eigenwerte um das nach dem obigen Schema zu machen.

D.h. wir berechnen det(A-λ*E) und berechnen zunächst die Eigenwerte. Dies funktioniert nun mit dem Laplace-Entwicklungssatz.

Meine weiteren rechnungen

Bild Mathematik

Ich gehe mal davon aus, du hast meinen obigen Kommentar noch nicht gelesen.

Nochmal in deinen eigenen Worten:

"matrix mal vektor für eigenvektoren ein vielfaches."

Bei der 2 hab ich laplace gemacht

A2 ist das so richtig

Dann müsste

-9i rauskommen.


Bild Mathematik

Bei kommt glaub so raus dass keines eigen vektor ist.


Nach diesen rechnungen

Bild Mathematik

Bitte poste deine Kommentare nicht doppelt.

Ich hab dir oben einen längeren Kommentar geschrieben, indem ich dir sogar einen Großteil der ersten Matrix vorgerechnet habe.

Bitte schaue dir diesen an.

Habe dir die Vorrechnung sogar noch einmal dick markiert.

Wir starten bei der ersten. Matrix:
Wir wissen:

A*v =λ*v

Bei Dreiecksmatrizen können wir die Eigenwerte aus der Diagonalen ablesen:

λ = 3

und λ= i

Jetzt setzen wir ein:

A * (1,1,4-i,0) =? 3 * (1,1,4-i,0)

Ich gehe mal von aus dass deine Rechnung oben richtig ist:

(6+4i, 11-2i,12-3i,0) ist offensichtlich ungleich 3 * (1,1,4-i,0) = (3,3,12-3i ,0)

Analog dazu machen wir das für λ= i.

Wir sehen: v erfüllt die Gleichung für keine der Eigenwerte => kein Eigenvektor.

Diesen Teil habe ich jetzt so verstanden das man

A * (1,1,4-i,0) =? 3 * (1,1,4-i,0)


(6+4i, 11-2i,12-3i,0) = 3 * (1,1,4-i,0)sein muss

Hat eine Matrix hier in dem fall 4 einzelne eigenvektoren?


dann verstehe ich jetzt was noch gefehlt hat. davor hab ich es also falsch gemacht in dem ich vektor mal vektor genommen habe.


dann reche ich das schnell nochmal nach.


und poste es hier.

ist meine A2 richtig gerrechnet?

"Hat eine Matrix hier in dem fall 4 einzelne eigenvektoren?"

Nein, nicht unbedingt. Es gibt Matrizen. Die mehrfach den selben EW haben ,aber dazu nicht genau so viele Eigenvektoren existieren


"ist meine A2 richtig gerrechnet?"

Siehe weiterhin den oberen Kommentar:  Du berechnest die Determinante der normalen Matrix.

berechnest die Determinante der normalen Matrix. 

Den part versteh ich leider nicht.

Ob jetzt A2 richtig ist oder nicht weiss ich nicht. Da ich leider deinen kommentar nicht verstehen kann.

Aber A3 sollte so richtig sein?

Bild Mathematik

Genau.


Ganz Wichtig:

Die Eigenwerte kann man NUR bei Dreiecksmatrizen ablesen.

D.h. wir müssen diese  bei A2 nach dem von mir mehrmals genannten Schema bzw. dem Schema auf der verlinkten Seite berechnen:

det(A-λ*E)   ( λ ist hierbei noch unbekannt)
Und dafür brauchen wir Laplace.

Hab fast zu ende gegessen ^^

Werde es so machen vielen Dank.


 Kannst du mir noch b und c zeigen?^^

Char. Polynom geht wie bereits erwähnt über

det(A-λ*E)

alg geo Vielfachheit ist bereits in deinem anderem Post erklärt.

Haben wir 4 verschiedene Eigenvektoren, dann haben wir eine Basis von C^4.(Eigenvektoren sind immer linear unabhängig voneinander).

Ist das richtig so?

Bild Mathematik

Wir haben in dem fall keine 4 verschieden eigenwerte und somit keine 4 verschiedene eigenvektoren.


Somit sind alle drei 3 keine eigenvektoren?

Gehe auch wieder von aus dass die Rechenschritte richtig sind.

Char. Polynom lässt sich online nachprüfen.

Wir haben einen EW doppelt.

Du musst dir wirklich mal meine Kommentar durchlesen und auch verarbeiten.

Ein EW, kann mehrere EV haben. Das ist das was ich zu geom. Vielfachheit geschrieben habe.


"Somit sind alle drei 3 keine eigenvektoren?"

Da musst du rechnerisch noch überprüfen nach der obigen Rechnung.

Ich lese mir alle durch

Aber anscheinent verstehe ich manchmal nicht richtig zumindest.

Jetzt hab ich total vergessen wie man das macht mach eigenvektoren bin etwas konfus gerade.

https://www.matheretter.de/wiki/eigenvektoren-eigenwerte

Eigenvektoren,sind die Vektoren, die in ker(A-Eλi) liegen. ( Dies für alle vorher berechneten EW machen)

die a habe ich jetzt. da kamen keine EV raus.

die b müsste ich jetzt machen.

hab den überblick verloren.^^

alles klar. nochmal alles durchgelesen.
die aufgabe b haben wir noch nicht gemacht.

kann mir einer weiter helfen bitte.

Jeder eigenwert hat mindestens eine EV.  Es ist nicht möglich dass es keine gibt.  Einfach nach der Anleitung,  die ich in meinem letzten Kommentar geschrieben habe berechnen bzw. die Gleichung aus dem letzten Kommentar berechnen.


Sorry,  aber ich fühle mich hier etwas veräppelt.  Ich habe dir mehrmals die erklärt wie b funktioniert.  Ich werde mich nun zurückhalten was die Aufgabe anbelangt, solange ich nicht sehe,  dass du dich damit beschäftigt hast.

alles klar.

ich zeige dir dann auf die schnelle nochmal was ich gemacht habe dann kannes eig nur sein das ich mich verrechnet habe?

Kannst du hier meinen fehler finden?


 Bild Mathematik Bild Mathematik Bild Mathematik

Dann habe ich auch noch

Bild Mathematik

EW hast du ja bereits berechnet und das Char Polynom hast du auch schon.  Schau dir an was ich zur algebraischen vielfachheit geschrieben habe in der anderen Aufgabe.

Zu den eigenvektoren sehe ich da keine Rechnung.

Matrix mal ew er gibt doch vielfaches Ev?

Das mache ich dann gleichmal.

Das mit dem alg. Viel. Lese ich dann nochmals durch.

Packe es zeitlich nicht.

Hab physio termin. Gleich danach mach ich weiter.

Matrix mal ew er gibt doch vielfaches Ev?

Genau.  Das ist die Eigenschaft die wir verwenden .  Da wir die EV aber nicht kennen,  Formen wir das um.  Dann haben wir dementsprechend diese gleichung mit dem Kern die ich oben genannt habe. 

also ich habe jetzt gemacht

A3 * ((3),(3),(i),(3))= ((9),(9),(3i+1),(9))

rausbekommen.

dann mal EW mal ((1),(1),(4-i),(0)) = ((i),(i),(4i+1),(0))

ist das so korrekt?=

Verstehe nicht was du da gemacht hast.  Wo ist das Problem das mit dem kern so aufzuschreiben und auszurechnen?

Ich hab

Matrix mal EW gemacht damit ich ein bielfaches EV hab.

Dann

EV mal den vektor

Ist das falsch?

Das haben wir doch geschon geklärt. Auf der verlinkten Seite wird es doch sogar vorgerechnet.

Nun ein allerletztes mal:

Av =λi*v

gilt für einen Eigenvektor und zugehörigen Eigenwert λi.


λist hier EIN Eigenwert. λi ist somit eine reelle Zahl und KEIN Vektor.

Jeder Eigenwert hat somit dazugehörige Eigenvektoren.

Wir haben für die erste Matrix die Eigenwerte 3 und 1.

Also muss für unsere Eigenvektoren gelten:

Av =3*v

oder

Av =1 *v

Aufgrund dieser Tatsache Formen wir die Gleichung um.

Wir berechnen nun Eigenvektoren zu dem Eigenwert 3:

Av =3*v

<=> Av - 3v = 0

<=> (A-3*E)v = 0


Unsere Eigenvektoren zu 3 sind also die Vektoren, die (A-3E) auf 0 abbilden.

Das ist nichts anderes als der Kern von (A-3E).

Dies ist GENAU das, was ich mehrmals nun erwähnt habe und was du,sofern du dich mit dem gepostetem Link beschäftigt haben solltest, auch hättest machen sollen.

Eigenvektoren sind also die Vektoren, die in:

ker(A- λ*E)

liegen.

Also weiter für EW 3 :

ker(A- E*3)

=

ker (

3 2 i 8     -  3 0 0 0

0 3 2 0       0 3 0 0

0 0 3 0       0 0 3 0

0 0 0 i       0  0 0 3

)

=

ker(

0 2 i 8

0 0 2 0

0 0 0 0

0 0 0 -3

)

Der Kern ist ja das,was auf 0 abbildet, also erhalten wir ein LGS mit 4 Unbekannten(a,b,c,d):

0 2 i 8  | 0

0 0 2 0 | 0

0 0 0 0 |  0

0 0 0 -3 | 0

Dieses LGS können wir mit unserem Schulwissen auflösen:

-3d = 0 => d = 0

2b = 0 => b = 0

2b + i*c + 8d= 0 => i*c = 0 => c = 0

=> Lösungen sind (0,0,0,0) und span{ (1,0,0,0) }

Der Nullvektor ist IMMER eine Lösung so eines Kernes,deswegen Interessiert uns dieser nicht weiter. Wir haben also als EV zu dem EW 3 den Vektor (1,0,0,0). (Es würde jetzt auch jedes vielfache von (1,0,0,0) funktionieren als Eigenvektor fungieren). Jetzt haben wir keine weiteren linear unabhängigen Lösungen, somit gibt es nur diesen einen Eigenvektor:

algebraische Vielfachheit: der EW tritt 3-fach auf, also = 3

geometrische Vielfachheit: Wir finden nur einen Eigenvektor, also = 1


Ganz wichtig: algebraische Vielfachheit eines EW ist immer größer gleich der geometrischen Vielfachheit.


Nun müssen wir das selbe für den zweiten EW machen.

Eine Basis für C^4 besteht aus 4 linear unabhängigen Vektoren. Haben wir das nun hier? Dies können wir bereits nach meinen obigen Berechnungen begründen, und zwar mit dem unterstrichenen.

Alles klar.

Ich hab mir grad alles in ruhe durch gelesen und manches deutlich besser verstanden.

Die anderen mach ich dann morgen gleich.


Eine Basis für C4 besteht aus 4 linear unabhängigen Vektoren. Haben wir das nun hier? Dies können wir bereits nach meinen obigen Berechnungen begründen, und zwar mit dem unterstrichenen.

Indem fall würde ich sagen ja haben wir.

Wenn der geo. Viel. 1 ist. 

Vielen Dank für deine Ausführliche Hilfe.

War Extrem Hilfreich!

Nein haben wir nicht.  Wir haben 1 Vektor zum ew 3 und maximal 1 EV zum ew i,  da dieser nur einfach Auftritt und somit maximal 1 EV haben kann.  D.h. Wir haben 4.

hä, habe ich nicht das gemeint?^^^ Das wir jetzt 4 EV haben?


können wir noch die c) machen bitte??

Hab mich da vertippt.  Naja 1 ev zum ew 3 und maximal,1 zu i : 1+1 =2

Achso

Ich dachte ich rechne hier ew 3 auch 3mal weil es ander anzahl 3 ist.

Das ist ja im prinzip wie eine doppelte nullstelle.

Den ew haben wir auch drei mal..  Wir konnten aber nur einen linear unabhängigen EV dazu finden.

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