A = [-4, -9, 0], B = [3, 3, -2], C = [6, -1, -4], S = [-6, 8, -7]
a.) Koordinaten des Fußpunktes berechnen F der Höhe auf die Basisebene ABC und die Länge der zugehörige Länge F und h
Ebenengleichung in Parameterform
E: X = A + r * AB + s * AC
E: X = [-4, -9, 0] + r * ([3, 3, -2] - [-4, -9, 0]) + s * ([6, -1, -4] - [-4, -9, 0])
E: X = [-4, -9, 0] + r * ([7, 12, -2]) + s * ([10, 8, -4])
Normalenvektor
N = [7, 12, -2] ⨯ [10, 8, -4] = [-32, 8, -64] = - 8·[4, -1, 8]
Ebenengleichung in Koordinatenform
E: X·[4, -1, 8] = [-4, -9, 0]·[4, -1, 8]
E: 4x -1y + 8z = -7
Geradengleichung für h Aufstellen
h: X = S + r * N
h: X = [-6, 8, -7] + r·[4, -1, 8] = [4·r - 6, 8 - r, 8·r - 7]
Fusspunkt F ist Schnittpunkt von E und h
4x -1y + 8z = -7
4(4·r - 6) -1(8 - r) + 8(8·r - 7) = -7
81·r - 88 = -7
r = 1
F = [4·1 - 6, 8 - 1, 8·1 - 7] = [-2, 7, 1]
h = |FS| = |[-6, 8, -7] - [-2, 7, 1]| = 9
b.) Volumen des Körpers
V = 1/6 = (AB ⨯ AC) * AS = ([7, 12, -2] ⨯ [10, 8, -4])·([-6, 8, -7] - [-4, -9, 0]) = 648
c.) Berechne den Wert jenes Winkels unter dem die Seitenkante AS zu der Fläche ABC geneigt ist
AS = [-6, 8, -7] - [-4, -9, 0] = [-2, 17, -7]
α = arcsin(AS * N / (|AS| * |N|))
α = arcsin([-2, 17, -7] * [-32, 8, -64] / (|[-2, 17, -7]| * |[-32, 8, -64]|))
α = 29.12°
d.) Berechne den Normalabstand des Schwerpunktes der Dreiecksfläche BCS auf die Basisebene ABC
Schwerpunkt
SBCS = 1/3 * (B + C + S) = 1/3 * ([3, 3, -2] + [6, -1, -4] + [-6, 8, -7]) = [1, 10/3, - 13/3]
Abstandsform für Ebene ABC aus Koordinatenform
E: 4x -1y + 8z = -7
d = (4x -1y + 8z + 7) / √(4^2 + 1^2 + 8^2)
d = (4(1) -1(10/3) + 8(-13/3) + 7) / 9 = -3
Der Abstand beträgt 3 LE.
