stimmt das so? Taylorpolynom mit Rest und Näherung

Question

ist das so richtig?

sei f:ℝ→ℝ mit f(x)=1+sin²(x)

Als erstes soll das Taylorpolynom T²_f(x,x₀) im Entwicklungspunkt x₀=(π/2) bestimmt werden da hab ich

f´(x)=2cos(x)sin(x)

f´´(x)=-2(sin²(x)-cos²(x)

T²_f(x,(π/2))=1/0!+1/1!*(x-π/2)¹+-2/2!*(x-π/2)²=1+1*(x-π/2)¹+-1*(x-π/2)²

Dann soll der Rest R₂(x) angegeben werden

f³(x)=-8cosxsin(x)

R₂(x,π/2)=f³(ξ)/3!=( -4cos(ξ)sin(ξ))/(3))*(ξ-π/2)³

Als letztes soll mit Hilfe des Taylorpolynoms ein Näherungswert für den Funktionswert f(3/2) angegeben werden.

f(3/2)≈T²_f(3/2,π/2)=1+1(3/2-π/2)-1*(3/2-π/2)²=1+3/2-π/2-9/4-(π/2)²=1/4-π/2-(π/2)²

Danke fürs ansehen

Answer 1

Hi,

die Ableitungen ungerader Ordnung sind an der Stelle \(  \frac{\pi}{2} \) Null

$$ f \left( \frac{\pi}{2} \right)  = 2 $$

$$  f'' \left( \frac{\pi}{2} \right)  = -2  $$

Also $$  T_2(f) = 2 - \frac{(2x - \pi)^2}{4}   $$

Comments

das versteht ich nicht ...also hab ich bei den Ableitungen das falsche eingesetzt oder das falsche ausgerechnet? das ist nicht ungerade es ist doch sin ²

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Stell Deine Frage doch bitte konkreter, sonst weiss ich nicht was ich antworten soll.

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Hallo Ullim,

f(π/2) = 2   und  f(π/2) = - 2  verstehe ich auch nicht.

da hast du dich wohl vertippt.

Gruß Wolfgang

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also ist meins richtig? Ich bin nu ganz verwirrt.

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Habe in meinem Post einen Tippfehler gemacht und jetzt korrigiert.

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und was wäre jetzt falsch bei meinen Rechnungen?

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Du hast das hingeschrieben
$$ T_{f}^2(x,(π/2))=1/0!+1/1!  (x-π/2)^1+(-2)/2! (x-π/2^2=  \\ 1+1 \cdot  (x-π/2)^1+(-1) (x-π/2)^2 $$
Die Taylorreihe lautet aber
$$ T_f^2(x) = f(π/2) + f'(π/2)(x-π/2) + \frac{1}{2} f''(π/2)(x-π/2)^2 =\\2 - (x-π/2)^2 = 2 - \frac{(2x-π)^2}{4}  $$

Und das sieht ja wirklich nicht gleich aus, oder?

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ist nicht (π/2) eingesetzt in die Ableitung = 1, weil sin  (π/2) = 1 und cos (π/2)sind 0 und 2*0 ist und  die 1 vom sin(π/2) ist = 1

also f´(π/2)=2*cos(π/2)*sin(π/2)= 0+1=1

und für f(π/2) hab ich auch 2 raus

für f³(π/2)=-2 wo hab ich mich denn dann verrechnet

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ich habe das jetzt nochmal nachgerechnet und als endergebnis

2-1(x-π/2)² wieso macht man da einen bruch raus ?

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Dein Restglied hängt nicht von x ab obwohl du geschrieben hast R₂ (x, pi/2)

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Ist halt Geschmacksfrage. Macht aber am Ergebnis nichts.

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|(-4cos(Xi)sin(Xi))/ 3|  ≤ (4/3)/2 = 2/3

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wie hast du das mit dem rest gemacht?