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Hey

Hilfe brauche ich nur bei einem Teil der Aufgabe, hier aber die ganze Aufgabe zum besseren Verständnis. Also nicht abgeschreckt sein von der Textmenge :D

Aufgabe:

Ein Mitarbeiter der Wasserbehörde misst regelmäßig den Wasserstand im Graben. Dabei stellt er fest, dass sich der Wasserstand periodisch verändert: Während der Graben im April immer vollständig gefüllt ist, erreicht er regelmäßig in Oktober seinen tiefsten Stand.

Der Mitarbeiter modeliert den Wasserstand, um anormale Widerstände erkennen zu können:

(1) 0-Januar, 1-Februar,2-März usw.

(2) g(x)=a cos(b(x+c))+d

(3) a=1, d=-1, c=-3

(4) Periodenlänge 12, also 12=2π/b

-> b=π/6

(5) g(6)= -1


Probleme habe ich jetzt nur bei dem Teil (4). Und zwar weiß ich, dass er versucht auszurechnen, wie weit die Fkt. nach x-Richtung gestreckt werden muss, weil auf dem Intervall [0;12] wegen der Jahreszeiten ja nur zwei Extremem sein dürfen.

Ich kann nur die Gleichung 12=2π/b überhaupt nicht nachvollziehen. Wie kommt man darauf, die 2π durch b zu teilen??

Kann mir jemand helfen? :s

Danke

von

3 Antworten

+1 Punkt
 
Beste Antwort

Die "normale" cos-Funktion hat ja die Periode 2pi.

also bei cos(x) hat man bei cos(x+2pi) wieder den gleichen Wert wie

bei  cos(x) .  Entsprechend ist es auch bei

cos(x+c) . Da ist bei  x+c+2pi wieder der gleiche Wert wie bei x+c.

Hier soll es aber immer bei x+c+12 wieder der gleiche Wert sein.

Also muss der Wert (x+c) mit einem Faktor b multipliziert werden,

dass dabei die Periodenlänge 12 herauskommt.

Nun ist b zur Periodenlänge umgekehrt proportional; denn wenn du

z-B. b=2 nimmst, wird der Wert  b(x+c) schon den Wert 2pi erreichen

wenn x+c von 0 auf pi ansteigt.

also kurz:  b=1  =>  Periodenlänge 2pi

                b=2 => Periodenlänge pi   etc.

Also allgemien   Periodenlänge =  2pi / b

Und damit  2pi/b = 12 ist

gilt   b =  2pi / 12 = pi/ 6     .


von 168 k
+1 Punkt

Hi,
die Periodizität erstreckt sich über 12 Monate. Und der Cosinus hat eine Periode von \( 2 \pi \). Also muss gelten
$$ a \cos[ \ b(x+c) \ ] + d = a \cos[ \ (x+12+ c) \ ] + d   $$ also
$$ b(x+12+c) = b(x+c)+2 \pi $$ und daraus folgt
$$ b = \frac{\pi}{6}  $$

von 24 k
0 Daumen

Statt g(x)=a cos(b(x+c))+d schreibt man auch gerne g(x)=a cos(2π/p·(x+c))+d. Dann ist p die Periodenlänge (wie man sich überlegen kann) und b=2π/p. Für p=12 ergibt sich  12=2π/b.

von 58 k

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