zeigen, dass A*B=I ist (Matrizenmultiplikation)

Question

ich weiß, dass ich hier A*B=Einheitsmatrix zeigen muss. Aber es scheitert irgendwie an der Umsetzung. Es wäre nett, wenn mir jemand mal die einzelnen Rechenschritte aufzeigen könnte.

Answer 1

Hi,
$$ ( I +x x^T + y y^T )\left( I - \frac{x x^T}{1 + x^T x } -  \frac{y y^T}{1 + y^T y } \right)  = \\I -  \frac{x x^T}{1 + x^T x } - \frac{y y^T}{1 + y^T y } + x x^T - \frac{ x x^T x x^T}{1 + x^T x } - \frac{x x^T y y^T}{1 + y^T y } + y y^T - \frac{y y^T x x^T}{1 + x^T x } -  \frac{y y^T y y^T}{1 + y^T y }$$
also
$$ I - x x^T \left( \frac{1}{1 + x^T x } - 1 + \frac{x^T x }{1 + x^T x } \right) - y y^T \left( \frac{1}{1 + y^T y } - 1 + \frac{y^T y }{1 + y^T y } \right) - \frac{x x^T y y^T}{1 + y^T y } - \frac{y y^T x x^T}{1 + x^T x } $$
Die letzten beiden Summanden sind Null wegen \( x^T y = 0 \) und die Klammern sind ebenfalls Null, wie man sieht wenn man sie auf den Hauptnenner bringt.
Das war zu zeigen.

Answer 2

Sei \(x = \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\), \(y = \begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\) und \(AB = \begin{pmatrix}e_{11}&\dots&e_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\e_{n1}&\dots&e_{nn}\end{pmatrix}\).

Zeige \( e_{ij}=\begin{cases}1&\text{falls }i=j\\0&\text{sonst}\end{cases} \).

Answer 3

Wenn x die Spalte

x1
x2
...
xn

ist, also   x = ( x1,x2,.....xn)^T dann

Dann ist x^T = ( x1,x2,.....xn) also die entsprechende Zeile.

Damit ist xTx die Zahl  x₁² +x₂² +....+x_n²   .

und xx^T ist die Matrix

x₁²       x₁x₂    x₁x₃   ..............   x₁x_n
x₁x₂      x₂²    x₂x₃   ..............   x₂x_n
..................................................
..................................................
 x₁x_n    x₂x_n   ..............x_n-1x_n     x_n²   .


Für die y's entsprechend.

Mit diesen Einsichten versuche mal  aus

( I + xx^T + yy^T ) * ( I -  1 / ( 1 + x^Tx) * xx^T   -  1 / ( 1 + y^Ty) * yy^T  ) 

eine Summe von 9 Produkten zu machen.

Da tauchen dann so Teile auf wie 

xx^T *  1 / ( 1 + x^Tx) * xx^T  

=  1 / ( 1 + x^Tx) * xx^T * xx^T  

Die sich dann auch wieder gegenseitig wegheben.