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Gegeben sind die Matrizen

$$ A = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , B _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , B _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , B _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$

Für welche i ∈ {1, 2, 3} lässt sich die Matrix X so bestimmen, dass X die Gleichung

$$ X \cdot A \cdot \left( X \cdot A ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } = B _ { i } $$

erfüllt? Bestimmen Sie ggf. alle Matrizen X.

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a) Du kannst hier den Satz über die Determinante eines Produkts nutzen:

det(AB) = det(A)*det(B)

Darum gilt auch det(A)=1/det(A-1)

Damit die Gleichung überhaupt erfüllt sein kann, muss also gelten:

det (X*A*(X*A-1)-1) = det (Bi)

Die Determinanten der Matrizen Bi lassen sich leicht ausrechnen, es gilt:

det(B1)=1
det(B2)=0
det(B3)=0

Für die linke Seite gilt nach der genannten Produktregel:

det(X*A*(X*A-1)-1)= det(X)*det(A)*det((X*A-1)-1) = det(X)*det(A)/(det(X)*det(A-1)) = det(A)/det(A-1) = det(A)2

Berechnet man nun noch die Determinante

det(A) = -1,

dann erkennt man, dass nur B1 herauskommen kann.

 

Jetzt können wir uns ans rechnen machen:

Erstmal nutze ich aus, dass (AB)-1=B-1A-1 gilt, also

X*A*(X*A-1)-1 = X*A*A*X-1

A*A kann man leicht ausrechnen, das ergibt die Einheitsmatrix. 

Nun steht da also noch

X*E*X-1 = X*X-1

Und herauskommen soll die Einheitsmatrix ⇒ alle invertierbaren Matrizen X, also alle 3x3-Matrizen mit det(X)≠0 erfüllen die Gleichung.

 

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