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Bild Mathematikich weiß, dass ich hier A*B=Einheitsmatrix zeigen muss. Aber es scheitert irgendwie an der Umsetzung. Es wäre nett, wenn mir jemand mal die einzelnen Rechenschritte aufzeigen könnte. Danke!

von 3,5 k

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Hi,
$$ ( I +x x^T + y y^T )\left( I - \frac{x x^T}{1 + x^T x } -  \frac{y y^T}{1 + y^T y } \right)  = \\I -  \frac{x x^T}{1 + x^T x } - \frac{y y^T}{1 + y^T y } + x x^T - \frac{ x x^T x x^T}{1 + x^T x } - \frac{x x^T y y^T}{1 + y^T y } + y y^T - \frac{y y^T x x^T}{1 + x^T x } -  \frac{y y^T y y^T}{1 + y^T y }$$
also
$$ I - x x^T \left( \frac{1}{1 + x^T x } - 1 + \frac{x^T x }{1 + x^T x } \right) - y y^T \left( \frac{1}{1 + y^T y } - 1 + \frac{y^T y }{1 + y^T y } \right) - \frac{x x^T y y^T}{1 + y^T y } - \frac{y y^T x x^T}{1 + x^T x } $$
Die letzten beiden Summanden sind Null wegen \( x^T y = 0 \) und die Klammern sind ebenfalls Null, wie man sieht wenn man sie auf den Hauptnenner bringt.
Das war zu zeigen.

von 33 k
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Sei \(x = \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\), \(y = \begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\) und \(AB = \begin{pmatrix}e_{11}&\dots&e_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\e_{n1}&\dots&e_{nn}\end{pmatrix}\).

Zeige \( e_{ij}=\begin{cases}1&\text{falls }i=j\\0&\text{sonst}\end{cases} \).

von 77 k 🚀
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Wenn x die Spalte

x1
x2
...
xn

ist, also   x = ( x1,x2,.....xn)T dann

Dann ist xT = ( x1,x2,.....xn) also die entsprechende Zeile.

Damit ist xTx die Zahl  x12 +x22 +....+xn2   .

und xxT ist die Matrix

x12       x1x2    x1x3   ..............   x1xn
x1x2      x22    x2x3   ..............   x2xn
..................................................
..................................................
 x1xn    x2xn   ..............xn-1xn     xn2   .


Für die y's entsprechend.

Mit diesen Einsichten versuche mal  aus

( I + xxT + yyT ) * ( I -  1 / ( 1 + xTx) * xxT   -  1 / ( 1 + yTy) * yyT  ) 

eine Summe von 9 Produkten zu machen.

Da tauchen dann so Teile auf wie 

xxT *  1 / ( 1 + xTx) * xxT  

=  1 / ( 1 + xTx) * xxT * xxT  

Die sich dann auch wieder gegenseitig wegheben.
von 229 k 🚀

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