Funktion auf Differenzierbarkeit untersuchen? f(x):= x |x|

Question

Wie löse ich folgende Aufgabe? Könnte sie mir jemand erklärend vorrechnen ?

Untersuchen Sie die Funktion

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x):=x|x| \)

auf Differenzierbarkeit. An welchen Stellen ist die Funktion differenzierbar? Gibt es Stellen, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist? Bestimmen Sie die Ableitung an den Stellen, an denen \( f \) differenzierbar ist.

Comments

Deine Funktion hat diesen Graphen

~plot~ x * abs(x) ~plot~

Rechts und links von der y-Achse, stimmt die Funktion mit y= x^2 bzw. y= -x^2 überein. Beide Teile sind für sich differenzierbar. Da beide Teile bei x0 = 0 die Ableitung 0 haben, ist y = x*|x| auf ganz R differenzierbar. 

~plot~ x * abs(x) ;x^2; -x^2 ~plot~

Answer 1

Hallo Rokko,

f: ℝ → ℝ ;  f(x) = x * |x|

f(x) = ( x²   für x ≥ 0

         ( -x² für x < 0

Für x ≠ 0 ist die Funktion im Innern der Teilabschnitte jeweils differenzierbar mit

f '(x) = (  2x   für x > 0

           (  -2x  für x < 0

Zu Betrachten bleibt die "Nahtstelle"  x=0 :

Wegen  lim_x→0- f(x)  =  0  =  lim_x→0+  f(x)   =  f(0)  ist f stetig in 0

Deshalb genügt es, zu zeigen:   lim_x→0 f '(x)  existiert:

lim_x→0- f '(x)  =  lim_x→0- (-2x)  =  0  =  lim_x→0+ (2x)  =  lim_x→0+ f '(x) 

→  f ist in ganz ℝ differenzierbar mit 

f '(x) = (  2x   für x ≥ 0

           (  -2x   für x < 0

Gruß Wolfgang