approximiere f(x)=1/(1+x)

Question

Man approximiere f(x)=1/(1+x) nahe x=1 durch ein Polynom 2. Grades und schätze den fehler auf [0,2] ab

meine ableitung: - (1/(1+x)²)

was müsste ich jetzt machen?

Answer 1

T(x) = f(1) + f'(1)/1!·(x - 1) + f''(1)/2!·(x - 1)²

T(x) = 1/2 - 1/4·(x - 1) + 1/8·(x - 1)² 

Comments

Ok und wie kann ich den fehler in [0,2] abschätzen?

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Abschätzung des Taylorpolynoms über das Restglied. In Formel einsetzen und ausrechnen.

Answer 2

entwicklungspunkt x_0=1, mit 0 ≤ x ≤ 2 und dem restglied nach lagrange mit ξ zwischen x_0 und x bzw. 1 > ξ > 0 und 1 < ξ < 2 kommt man auf einen maximalwert des fehlers mit:

$${ R }_{ 2 }(x) = |\frac { { f }^{ (3) } (\xi)}{ 3! }(x - { x }_{ 0 })^{3}| =\frac { |\frac { -6 }{ { (\xi+1) }^{ 4 } }| }{ 6 }{ |(x-1) }^{ 3 }| \\ = \frac { 1 }{ |(\xi+1)^4| }|(x-1)^3| { \leq }^{( \xi>0 )} \quad \frac { 1 }{ (1+1)^4 }|(x-1)^3| { \leq }^{ (1\geq x \geq 0) } \quad 1|(0-1)^3| = 1$$

ist der fehler in (x_0-1)

und

$${ R }_{ 2 }(x) = |\frac { { f }^{ (3) } (\xi)}{ 3! }(x - { x }_{ 0 })^{3}| =\frac { |\frac { -6 }{ { (\xi+1) }^{ 4 } }| }{ 6 }{ |(x-1) }^{ 3 }| \\ = \frac { 1 }{ |(\xi+1)^4| }|(x-1)^3| { \leq }^{( \xi>1 )} \quad \frac { 1 }{ (1+1)^4 }|(x-1)^3| { \leq }^{ (1 \leq x\leq2) } \quad \frac { 1 }{ 16 }(2-1)^3 = \frac { 1 }{ 16 }$$

der fehler in (x_0+1)