Untersuchen Sie, ob die Matrizen positiv (semi)definit, negativ (semi)definit oder indefinit sind

Question

Aufgabe (Definitheit):

a) Untersuchen Sie, ob die Matrizen
$$A=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {-2} & {2} \\ {-2} & {4} & {0} \\ {2} & {0} & {2} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad B=\left(\begin{array}{cccc} {1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {-2} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {-4} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} \end{array}\right)$$

positiv (semi) definit, negativ (semi) definit oder indefinit sind.

b) Für welche $\lambda \in \mathbb{R}$ ist die Matrix

$$C=\left(\begin{array}{ccc} {5} & {2} & {-1} \\ {2} & {1} & {-1} \\ {-1} & {-1} & {\lambda} \end{array}\right)$$

positiv definit?

Answer 1

Berechne die Eigenwerte der Matrix und verwende dann die entsprechenden Kriterien für Definitheit:

Kriterien für Definitheit

Eigenwerte

Eine quadratische symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix ist genau dann

- positiv definit, wenn alle Eigenwerte größer als null sind;
- positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte größer oder gleich null sind;
- negativ definit, wenn alle Eigenwerte kleiner als null sind;
- negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte kleiner oder gleich null sind und
- indefinit, wenn positive und negative Eigenwerte existieren.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit

B ist eine Diagonalmatrix, die Eigenwerte sind die Diagonaleinträge. Sie ist also indefinit.

Bei A musst du die Eigenwerte erstmal bestimmen.

Comments

für die B ist die Lösung relativ einfach weil sie eine symmetrische Matrix ist aber könnten Sie die A noch weiter ausführen bitte

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Matrix A ist auch symmetrisch. Die Eigenwerte sind 6 ; 3 und 0.

Also ist die Matrix positiv semidefinit.