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Bild Mathematik Bild Mathematik Hallo

ich habe diese beiden Reihen.

Dass die 1. gegen 1 konvergiert verstehe ich, weil das 1. Folgeglied ist 1 und dann kommen unendlich viele kleine Folgeglieder dazu.

Das ist doch bei der 2. Reihe das gleiche oder? Ich verstehe nicht wieso diese divergiert

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ich habe diese beiden Reihen.

Dass die 1. gegen 1 konvergiert verstehe ich, weil das 1. Folgeglied ist 1 und dann kommen unendlich viele kleine Folgeglieder dazu.


Das stimmt nicht ganz. Der erst Summand ist  1 / ( 1 * 2)  = 1/2

Aber du kannst den Term  1 / ( n*(n+1)) auch so schreiben

  1 / ( n*(n+1))  =  1/n  -  1/(n+1)

Dann ist der erste   1 - 1/2  und derzweite   1/2 - 1/3   und der dritte

    1/3 - 1/4   etc.

Wenn du addierst ist das1 -1/2   +1/2  - 1/3   + 1/3  -1/4  ....   und du siehst:

je zwei heben sich gegenseitig auf  die blauen und die grünen etc.und wenn du das immer weiter fortsetzt bleibt nur die erste 1 übrig.

( sog. Teleskopsumme )

Das ist doch bei der 2. Reihe das gleiche oder? Ich verstehe nicht wieso diese divergiert


siehe dazu  https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Divergenz

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Hi,

also die Argumentation bei der ersten Aufgabe ist komplett falsch:

1. Der erste Summand ist nicht 1 1 sondern 12 \frac{1}{2}
2. Ob da immer kleinere Terme dazukommen ist nicht relevant wie Du aus der zweiten Aufgabe entnehmen kannst.

Du must die Konvergenz exakt nachweisen. Dazu zerlegst Du in Aufgabe (1.) den Term in
1n(n+1)=1n1n+1 \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} und führst die Summation mal durch, dann siehst Du schon was passiert.

Zur zweiten Aufgabe siehe hier
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Harmonisc…

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1. ist eine Teleskopsumme (googlen! / Wikipedia anschauen)

Nur wenn du das erkennst und begründen kannst, warum nach der 1 nichts mehr relevant ist.

2. ist die harmonische Reihe, von der du wissen musst, dass sie divergiert. Die wird oft beim Minorantenkriterium verwendet.

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